O modelo logístico é usado para simular o crescimento populacional no tempo através da EDO
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{C}\right)
onde P é a população, t é o tempo, k é a taxa máxima de crescimento e C é a capacidade de suporte.
(a) Faça uma previsão do tamanho da população mundial daqui a dois anos considerando que atualmente ela é de 7.8 bilhões. Use o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo h=1 ano, considerando k=0.0114 ano ^{-1} e C=12 bilhões.
(b) O que você faria para obter uma melhor aproximação? Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Fazer uma previsão do tamanho da população mundial daqui a dois anos, usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo h=1 ano, a partir da condição inicial atual P(0)=7{,}8 bilhões, com parâmetros k=0{,}0114 ano {}^{-1} e C=12 bilhões.
  • (b) Explicar o que eu faria para obter uma melhor aproximação.
Informações fornecidas (tudo que vamos usar):
P(0)=7{,}8\\ (\text{bilhões}),\qquad h=1\\ (\text{ano}),\qquad k=0{,}0114\\ (\text{ano}^{-1}),\qquad C=12\\ (\text{bilhões}).õõ

Passo 2

Entendendo a equação e a função que aparece no método.
A EDO logística dada é
\frac{dP}{dt}=k\,P\left(1-\frac{P}{C}\right).
Aqui a função de taxa é
f(P)=k\,P\left(1-\frac{P}{C}\right),
onde:
  • P é a população (em bilhões),
  • k é a taxa máxima de crescimento (ano {}^{-1}),
  • C é a capacidade de suporte (bilhões).
    Para aplicar métodos numéricos tratamos a EDO como P'=f(P).

Passo 3

Descrição didática do método de Heun (Euler aperfeiçoado).
Heun é um método explícito de ordem 2. Para um passo h e valores discretos P_n \approx P(t_n) com t_{n+1}=t_n+h, o procedimento de um passo é:
  1. Preditor (Euler explícito):
\tilde{P}_{n+1}=P_n + h\,f(P_n).
  1. Corretor (média das inclinações):
P_{n+1}=P_n + \frac{h}{2}\bigl(f(P_n)+f(\tilde{P}_{n+1})\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • P_n é o valor atual (conhecido),
  • \tilde{P}_{n+1} é a previsão rápida (preditor),
  • f(P_n) e f(\tilde{P}_{n+1}) são as inclinações (derivadas) no início e na previsão,
  • P_{n+1} é o valor corrigido (novo ponto).
Heun tem erro global que escala como O(h^2). Isso significa que, se reduzirmos h pela metade, o erro global tende a cair aproximadamente por um fator 4.

Passo 4

Aplicando o método: passo de t=0 para t=1.
Nós trabalhamos em bilhões para P e anos para t.
Calcule f(P_0) com P_0=7{,}8:
f(P_0)=k P_0\Bigl(1-\frac{P_0}{C}\Bigr) =0{,}0114\cdot 7{,}8\Bigl(1-\frac{7{,}8}{12}\Bigr).
Primeiro calcule \dfrac{7{,}8}{12}=0{,}65, logo 1-0{,}65=0{,}35.
Então
f(P_0)=0{,}0114\cdot 7{,}8\cdot 0{,}35.
Multiplicando passo a passo:
7{,}8\cdot 0{,}35=2{,}73,
f(P_0)=0{,}0114\cdot 2{,}73=0{,}031122.
Esse valor significa 0{,}031122 bilhões por ano, ou seja cerca de 31{,}122 milhões de pessoas por ano (mas seguiremos em bilhões).
Preditor ( \tilde{P}_1):
\tilde{P}_1 = P_0 + h\,f(P_0)=7{,}8 + 1\cdot 0{,}031122 = 7{,}831122.
Calcule f(\tilde{P}_1):
f(\tilde{P}_1)=0{,}0114\cdot 7{,}831122\Bigl(1-\frac{7{,}831122}{12}\Bigr).
Computando a fração \dfrac{7{,}831122}{12}\approx 0{,}6525935, então 1-isso \approx 0{,}3474065.
Multiplicando:
7{,}831122\cdot 0{,}3474065 \approx 2{,}720582685,
f(\tilde{P}_1)=0{,}0114\cdot 2{,}720582685 \approx 0{,}0310146426.
Corretor (obter P_1):
P_1 = P_0 + \frac{1}{2}\bigl(f(P_0)+f(\tilde{P}_1)\bigr) =7{,}8 + \tfrac{1}{2}\bigl(0{,}031122+0{,}0310146426\bigr).
Somando e dividindo:
0{,}031122+0{,}0310146426=0{,}0621366426,
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}0621366426=0{,}0310683213,
P_1 = 7{,}8 + 0{,}0310683213 = 7{,}8310683213.
Portanto, ao final de 1 ano a população aproximada é P_1\approx 7{,}8310683213 bilhões.

Passo 5

Aplicando o método: passo de t=1 para t=2.
Primeiro calcule f(P_1):
f(P_1)=0{,}0114\cdot 7{,}8310683213\Bigl(1-\frac{7{,}8310683213}{12}\Bigr).
Computando \dfrac{7{,}8310683213}{12}\approx 0{,}6525890268, então 1-isso \approx 0{,}3474109732.
Multiplicando:
7{,}8310683213\cdot 0{,}3474109732 \approx 2{,}720598,
f(P_1)\approx 0{,}0114\cdot 2{,}720598 \approx 0{,}031014817.
Preditor para t=2:
\tilde{P}_2 = P_1 + h\,f(P_1) \approx 7{,}8310683213 + 1\cdot 0{,}031014817 = 7{,}8620831383.
Calcule f(\tilde{P}_2):
f(\tilde{P}_2)=0{,}0114\cdot 7{,}8620831383\Bigl(1-\frac{7{,}8620831383}{12}\Bigr).
Compute \dfrac{7{,}8620831383}{12}\approx 0{,}6551735949, então 1-isso \approx 0{,}3448264051.
Multiplicando:
7{,}8620831383\cdot 0{,}3448264051 \approx 2{,}7110538,
f(\tilde{P}_2)\approx 0{,}0114\cdot 2{,}7110538 \approx 0{,}030905874.
Corretor (obter P_2):
P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\bigl(f(P_1)+f(\tilde{P}_2)\bigr)
f(P_1)+f(\tilde{P}_2)\approx 0{,}031014817+0{,}030905874=0{,}061920691,
\frac{1}{2}\cdot 0{,}061920691=0{,}0309603455,
P_2 \approx 7{,}8310683213 + 0{,}0309603455 = 7{,}8620286668.
Arredondando de forma razoável (mantendo precisão adequada para contexto demográfico), obtemos
P(2)\approx 7{,}86203\\ \text{(bilhões)}.õ

Passo 6

Resumo numérico e interpretação:
  • A previsão numérica com Heun (passo h=1) dá P(2)\approx 7{,}86203 bilhões.
  • Observe que o crescimento em dois anos é pequeno (passamos de 7{,}8 para cerca de 7{,}862 bilhões) porque k é uma taxa baixa.

Passo 7

O que eu faria para obter uma melhor aproximação (resposta à parte (b)), explicado didaticamente e com opções práticas:
  1. Diminuir o passo h: como Heun tem erro global O(h^2), reduzir h (por exemplo para h=0{,}5 ou h=0{,}25 anos) reduz fortemente o erro. Isso é a forma mais direta de aumentar precisão mantendo o mesmo método.
  2. Usar um método de ordem maior, por exemplo o método de Runge–Kutta clássico de 4ª ordem (RK4). RK4 tem erro global O(h^4), ou seja, com o mesmo h ele costuma ser muito mais preciso que Heun.
  3. Usar o solucionador analítico da equação logística (quando disponível): a solução exata da logística com condição inicial P(0)=P_0 é
P(t)=\frac{C}{1+\dfrac{C-P_0}{P_0}\,e^{-k t}}.
Como a logística tem solução fechada, usar essa fórmula dá a resposta exata (até erros de arredondamento) para qualquer t — portanto é a melhor opção se queremos precisão absoluta. (Para nosso caso, substituindo P_0=7{,}8, C=12, k=0{,}0114 já se obteria P(2) sem aproximação numérica.)
4. Usar passo adaptativo: métodos que ajustam h automaticamente conforme a solução muda (por exemplo RKF45 ou RK45 com controle de erro) são eficientes: diminuem h onde a solução varia rápido e aumentam onde varia devagar.
5. Conferir com vários métodos/ passos: comparar resultados de Heun com RK4 e com a solução exata (quando possível) para estimar o erro numérico.
Breve justificativa para um estudante em prova: se você só pode fazer cálculos manuais rápidos, diminuir h de 1 para 0{,}5 e repetir Heun duas vezes por ano (quatro passos para dois anos) costuma ser suficiente para reduzir erro substancialmente; se usar calculadora/computador, prefira RK4 ou a solução analítica da logística.

Resposta

(a) \,7{,}86203 bilhões
(b) Diminuir o passo h (por exemplo h=0{,}5 ou h=0{,}25), ou usar um método de ordem superior como RK4; melhor ainda, quando possível usar a solução analítica da equação logística \displaystyle P(t)=\frac{C}{1+\frac{C-P_0}{P_0}e^{-kt}}, que dá o valor exato.

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