O modelo logístico é usado para simular o crescimento populacional no tempo através da EDO
onde
é a população,
é o tempo,
é a taxa máxima de crescimento e
é a capacidade de suporte.
(a) Faça uma previsão do tamanho da população mundial daqui a dois anos considerando que atualmente ela é de 7.8 bilhões. Use o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo
ano, considerando
ano
e
bilhões.
(b) O que você faria para obter uma melhor aproximação? Explique.
(a) Faça uma previsão do tamanho da população mundial daqui a dois anos considerando que atualmente ela é de 7.8 bilhões. Use o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo
(b) O que você faria para obter uma melhor aproximação? Explique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Fazer uma previsão do tamanho da população mundial daqui a dois anos, usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo
ano, a partir da condição inicial atual bilhões, com parâmetros ano e bilhões. - (b) Explicar o que eu faria para obter uma melhor aproximação.
Informações fornecidas (tudo que vamos usar):
Passo 2
Entendendo a equação e a função que aparece no método.
A EDO logística dada é
A EDO logística dada é
Aqui a função de taxa é
onde:
-
é a população (em bilhões), -
é a taxa máxima de crescimento (ano ), -
é a capacidade de suporte (bilhões).
Para aplicar métodos numéricos tratamos a EDO como.
Passo 3
Descrição didática do método de Heun (Euler aperfeiçoado).
Heun é um método explícito de ordem 2. Para um passo e valores discretos
com
, o procedimento de um passo é:
Heun é um método explícito de ordem 2. Para um passo
- Preditor (Euler explícito):
- Corretor (média das inclinações):
Explicando cada símbolo:
-
é o valor atual (conhecido), -
é a previsão rápida (preditor), -
e são as inclinações (derivadas) no início e na previsão, -
é o valor corrigido (novo ponto).
Heun tem erro global que escala como
. Isso significa que, se reduzirmos
pela metade, o erro global tende a cair aproximadamente por um fator 4.
Passo 4
Aplicando o método: passo de
para
.
Nós trabalhamos em bilhões para e anos para
.
Nós trabalhamos em bilhões para
Calcule
com
:
Primeiro calcule
, logo
.
Então
Então
Multiplicando passo a passo:
Esse valor significa
bilhões por ano, ou seja cerca de
milhões de pessoas por ano (mas seguiremos em bilhões).
Preditor (
):
Calcule
:
Computando a fração
, então
isso
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Corretor (obter
):
Somando e dividindo:
Portanto, ao final de 1 ano a população aproximada é
bilhões.
Passo 5
Aplicando o método: passo de
para
.
Primeiro calcule
:
Computando
, então
isso
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Preditor para
:
Calcule
:
Compute
, então
isso
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Corretor (obter
):
Arredondando de forma razoável (mantendo precisão adequada para contexto demográfico), obtemos
Passo 6
Resumo numérico e interpretação:
- A previsão numérica com Heun (passo
) dá bilhões. - Observe que o crescimento em dois anos é pequeno (passamos de
para cerca de bilhões) porque é uma taxa baixa.
Passo 7
O que eu faria para obter uma melhor aproximação (resposta à parte (b)), explicado didaticamente e com opções práticas:
- Diminuir o passo
: como Heun tem erro global , reduzir (por exemplo para ou anos) reduz fortemente o erro. Isso é a forma mais direta de aumentar precisão mantendo o mesmo método. - Usar um método de ordem maior, por exemplo o método de Runge–Kutta clássico de 4ª ordem (RK4). RK4 tem erro global
, ou seja, com o mesmo ele costuma ser muito mais preciso que Heun. - Usar o solucionador analítico da equação logística (quando disponível): a solução exata da logística com condição inicial
é
Como a logística tem solução fechada, usar essa fórmula dá a resposta exata (até erros de arredondamento) para qualquer
— portanto é a melhor opção se queremos precisão absoluta. (Para nosso caso, substituindo
,
,
já se obteria
sem aproximação numérica.)
4. Usar passo adaptativo: métodos que ajustam automaticamente conforme a solução muda (por exemplo RKF45 ou RK45 com controle de erro) são eficientes: diminuem
onde a solução varia rápido e aumentam onde varia devagar.
5. Conferir com vários métodos/ passos: comparar resultados de Heun com RK4 e com a solução exata (quando possível) para estimar o erro numérico.
4. Usar passo adaptativo: métodos que ajustam
5. Conferir com vários métodos/ passos: comparar resultados de Heun com RK4 e com a solução exata (quando possível) para estimar o erro numérico.
Breve justificativa para um estudante em prova: se você só pode fazer cálculos manuais rápidos, diminuir
de
para
e repetir Heun duas vezes por ano (quatro passos para dois anos) costuma ser suficiente para reduzir erro substancialmente; se usar calculadora/computador, prefira RK4 ou a solução analítica da logística.
Resposta
(a)
bilhões
(b) Diminuir o passo
(por exemplo
ou
), ou usar um método de ordem superior como RK4; melhor ainda, quando possível usar a solução analítica da equação logística
, que dá o valor exato.