Um modulo de isolação para eletrônica de potência pode ser modelado por um capacitor de placas paralelas com área, A=8,0 \mathrm{~cm}^{2}, e distância entre placas, d=5,0 mm . A metade superior do espaço entre as placas é preenchida por um dielétrico de constante, \mathrm{k} 1=4,0, enquanto a metade inferior é preenchida por outro dielétrico de constante, \mathrm{k} 2=6,0. O capacitor é ligado a uma fonte de 180 V . Determine a capacitância equivalente do conjunto, a carga armazenada e a energia eletrostática acumulada.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Determinar a capacitância equivalente do conjunto.
    2. Determinar a carga armazenada no capacitor quando ligado a 180\\ \mathrm{V}.
    3. Determinar a energia eletrostática acumulada.
  • Dados fornecidos:
    • Área das placas: A=8{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
    • Separação entre placas: d=5{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Metade superior preenchida por dielétrico de constante k_1=4{,}0.
    • Metade inferior preenchida por dielétrico de constante k_2=6{,}0.
    • Tensão aplicada: V=180\\ \mathrm{V}.
  • Observações importantes que usaremos (sem resolver ainda):
    • Converter unidades para o SI antes de calcular.
    • Cada metade do espaço entre placas tem espessura d/2.
    • Um capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico homogêneo tem capacitância dada por uma fórmula que vamos explicar no próximo passo.

Passo 2

Fórmula do capacitor de placas paralelas e significado das variáveis.
  • Um capacitor de placas paralelas, com área das placas A, separação d e material dielétrico de constante relativa k, tem capacitância
C=\frac{\varepsilon_0\,k\,A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • k (também chamado \varepsilon_r) é a constante dielétrica relativa do material (adimensional).
  • A é a área da placa em \mathrm{m}^2.
  • d é a distância entre placas em \mathrm{m}.
Explicação curta e intuitiva: o dielétrico aumenta a capacitância multiplicando \varepsilon_0 por k; quanto maior A e menor d, maior a capacitância.

Passo 3

Modelo do problema: dois dielétricos em série (no sentido da separação) e a regra para capacitores em série.
  • Aqui o espaço entre as placas está dividido em duas camadas em série (cada camada tem espessura d/2 e mesma área A). Então cada metade se comporta como um capacitor de placas paralelas com espessura d/2.
  • Capacitâncias das duas camadas:
C_1=\frac{\varepsilon_0\,k_1\,A}{d/2}=\frac{2\varepsilon_0\,k_1\,A}{d}, \qquad C_2=\frac{\varepsilon_0\,k_2\,A}{d/2}=\frac{2\varepsilon_0\,k_2\,A}{d}.
  • Para dois capacitores em série vale:
\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.
Substituindo C_1 e C_2 obtemos, após simplificar,
C_{\mathrm{eq}}=\frac{2\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}.
Essa expressão é útil porque evita calcular C_1 e C_2 separadamente se quisermos só C_{\mathrm{eq}}.

Passo 4

Converter unidades e calcular numericamente a capacitância equivalente.
  • Converter área e distância para SI:
    • A=8{,}0\\ \mathrm{cm}^2=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
    • d=5{,}0\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Valores: \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, k_1=4{,}0, k_2=6{,}0.
Usando a fórmula
C_{\mathrm{eq}}=\frac{2\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2},
substituímos os números:
\frac{2\varepsilon_0 A}{d} = \frac{2\cdot(8{,}854\times10^{-12})\cdot(8{,}0\times10^{-4})}{5{,}0\times10^{-3}} =2{,}83328\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
O fator \dfrac{k_1 k_2}{k_1+k_2}=\dfrac{4{,}0\cdot6{,}0}{4{,}0+6{,}0}=\dfrac{24}{10}=2{,}4.
Portanto
C_{\mathrm{eq}}=2{,}83328\times10^{-12}\times2{,}4 =6{,}799872\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Arredondando com três algarismos significativos:
C_{\mathrm{eq}}\approx6{,}80\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=6{,}80\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Calcular a carga armazenada Q.
  • Relação carga-tensão para um capacitor:
Q=C_{\mathrm{eq}}\,V.
  • Com V=180\\ \mathrm{V} e C_{\mathrm{eq}}=6{,}799872\times10^{-12}\\ \mathrm{F}:
Q=6{,}799872\times10^{-12}\times180 =1{,}223975\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Arredondando:
Q\approx1{,}22\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=1{,}22\\ \mathrm{nC}.

Passo 6

Calcular a energia eletrostática acumulada U.
  • Energia armazenada num capacitor:
U=\tfrac{1}{2}C_{\mathrm{eq}}V^2.
  • Substituindo:
U=\tfrac{1}{2}\cdot6{,}799872\times10^{-12}\cdot(180)^2.
Como \tfrac{1}{2}\cdot(180)^2=16200, temos
U=6{,}799872\times10^{-12}\times16200 =1{,}10157\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U\approx1{,}10\times10^{-7}\\ \mathrm{J}=1{,}10\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.

Resposta

C_{\mathrm{eq}} \approx 6{,}80\times10^{-12}\\ \mathrm{F}
Q \approx 1{,}22\times10^{-9}\\ \mathrm{C}
U \approx 1{,}10\times10^{-7}\\ \mathrm{J}

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