Uma moeda é modificada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior do que a probabilidade de sair coroa. Para dois lançamento independentes, determine:
a) o espaço amostral.
b) a probabilidade de sair somente uma cara.
c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara.
d) a probabilidade de sair dois resultados iguais.
a) o espaço amostral.
b) a probabilidade de sair somente uma cara.
c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara.
d) a probabilidade de sair dois resultados iguais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A moeda é modificada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes a probabilidade de sair coroa. Ou seja, se
é a probabilidade de cara e a de coroa, então . - São feitos dois lançamentos independentes da mesma moeda.
- A moeda é modificada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes a probabilidade de sair coroa. Ou seja, se
- O enunciado pede:
(a) o espaço amostral;
(b) a probabilidade de sair somente uma cara (exatamente uma cara);
(c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara;
(d) a probabilidade de sair dois resultados iguais.
Passo 2
Encontrar as probabilidades individuais de cara e coroa a partir da relação dada.
- Sabendo que as duas probabilidades somam 1:
- Substituindo
nessa soma:
Comentário de amigo: então a moeda tem bastante tendência a cara —
de chance de cara e
de chance de coroa. Respira, já temos as ferramentas.
Passo 3
Construir o espaço amostral para dois lançamentos (ordem importante: primeiro e segundo lançamento).
- Os possíveis resultados ordenados são:
Explicação rápida: cada elemento é um par (resultado do 1.º lançamento, resultado do 2.º lançamento). Mesmo que as probabilidades não sejam iguais entre os elementos, esses são os eventos elementares do experimento.
Passo 4
Calcular a probabilidade de cada elemento do espaço usando independência.
- Regra usada: para eventos independentes, a probabilidade do resultado conjunto é o produto das probabilidades individuais.
- Assim:
Breve verificação (tranquilizadora): a soma das quatro probabilidades é
Passo 5
Resolver (b): probabilidade de sair somente uma cara (exatamente uma cara).
- O evento “somente uma cara” corresponde aos dois resultados
e . - Pela soma de probabilidades:
Passo 6
Resolver (c): probabilidade de sair pelo menos uma cara.
- “Pelo menos uma cara” é o complementar do evento “nenhuma cara” (ou seja, duas coroas).
- Regra do complementar:
. - Como
, temos
Passo 7
Resolver (d): probabilidade de sair dois resultados iguais.
- “Dois resultados iguais” significa ou duas caras ou duas coroas.
- Assim:
Resposta
(a)
\
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)