Uma moeda é modificada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior do que a probabilidade de sair coroa. Para dois lançamento independentes, determine:
a) o espaço amostral.
b) a probabilidade de sair somente uma cara.
c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara.
d) a probabilidade de sair dois resultados iguais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A moeda é modificada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes a probabilidade de sair coroa. Ou seja, se p é a probabilidade de cara e q a de coroa, então p=4q.
    • São feitos dois lançamentos independentes da mesma moeda.
  • O enunciado pede:
    (a) o espaço amostral;
    (b) a probabilidade de sair somente uma cara (exatamente uma cara);
    (c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara;
    (d) a probabilidade de sair dois resultados iguais.

Passo 2

Encontrar as probabilidades individuais de cara e coroa a partir da relação dada.
  • Sabendo que as duas probabilidades somam 1:
p+q=1
  • Substituindo p=4q nessa soma:
4q+q=1
5q=1
q=\frac{1}{5}
p=4q=4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5}
Comentário de amigo: então a moeda tem bastante tendência a cara — \tfrac{4}{5}=0{,}8 de chance de cara e \tfrac{1}{5}=0{,}2 de chance de coroa. Respira, já temos as ferramentas.

Passo 3

Construir o espaço amostral para dois lançamentos (ordem importante: primeiro e segundo lançamento).
  • Os possíveis resultados ordenados são:
S=\{\text{cara,cara},\\ \text{cara,coroa},\\ \text{coroa,cara},\\ \text{coroa,coroa}\}
Explicação rápida: cada elemento é um par (resultado do 1.º lançamento, resultado do 2.º lançamento). Mesmo que as probabilidades não sejam iguais entre os elementos, esses são os eventos elementares do experimento.

Passo 4

Calcular a probabilidade de cada elemento do espaço usando independência.
  • Regra usada: para eventos independentes, a probabilidade do resultado conjunto é o produto das probabilidades individuais.
  • Assim:
P(\text{cara,cara})=p^2=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}
P(\text{cara,coroa})=p\cdot q=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{25}
P(\text{coroa,cara})=q\cdot p=\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{25}
P(\text{coroa,coroa})=q^2=\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{25}
Breve verificação (tranquilizadora): a soma das quatro probabilidades é
\frac{16}{25}+\frac{4}{25}+\frac{4}{25}+\frac{1}{25}=\frac{25}{25}=1.

Passo 5

Resolver (b): probabilidade de sair somente uma cara (exatamente uma cara).
  • O evento “somente uma cara” corresponde aos dois resultados \text{cara,coroa} e \text{coroa,cara}.
  • Pela soma de probabilidades:
P(\text{exatamente uma cara})=P(\text{cara,coroa})+P(\text{coroa,cara})=\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{8}{25}.

Passo 6

Resolver (c): probabilidade de sair pelo menos uma cara.
  • “Pelo menos uma cara” é o complementar do evento “nenhuma cara” (ou seja, duas coroas).
  • Regra do complementar: P(\text{pelo menos uma cara})=1-P(\text{nenhuma cara}).
  • Como P(\text{nenhuma cara})=P(\text{coroa,coroa})=\dfrac{1}{25}, temos
P(\text{pelo menos uma cara})=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}.

Passo 7

Resolver (d): probabilidade de sair dois resultados iguais.
  • “Dois resultados iguais” significa ou duas caras ou duas coroas.
  • Assim:
P(\text{dois iguais})=P(\text{cara,cara})+P(\text{coroa,coroa})=\frac{16}{25}+\frac{1}{25}=\frac{17}{25}.

Resposta

(a) S=\{\text{cara,cara},\\ \text{cara,coroa},\\ \text{coroa,cara},\\ \text{coroa,coroa}\
(b) \dfrac{8}{25}
(c) \dfrac{24}{25}
(d) \dfrac{17}{25}

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