1 mol de monóxido de carbono a 2,758 \mathrm{MPa} e 700 K (estado 1) sofrem um processo de expansão isotérmica até 0,552 \mathrm{MPa} (estado 2), seguido de um resfriamento a volume constante até 437.5 K (estado 3) e de um resfriamento a pressão constante até 350 K (estado 4) e finalmente sofrem uma compressão adiabática até 2,758 \mathrm{MPa} (estado 5) e é aquecido a pressão constante até 700 K .
Admitindo o processo como reversível e que o monóxido de carbono se comporte como um gás ideal com capacidade calorífica a pressão constante igual a 29,3 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.
a) Calcular o calor, o trabalho, as variações da entalpia e da energia interna em cada etapa.
b) Calcular a variação total da energia interna da entalpia durante o processo.
c) Representar o Processo no plano P versus V com as diferentes isotermas.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo fechado com n=1 mol de CO (gás ideal) e pede, para cada etapa, o calor Q, o trabalho W, a variação de entalpia \Delta H e a variação de energia interna \Delta U. Dados fornecidos:
  • Estado 1: P_1 = 2{,}758\\ \mathrm{MPa}, T_1 = 700\\ \mathrm{K}.
  • Expansão isotérmica 1\to2 até P_2 = 0{,}552\\ \mathrm{MPa} (portanto T_2 = 700\\ \mathrm{K}).
  • Resfriamento a volume constante 2\to3 até T_3 = 437{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Resfriamento a pressão constante 3\to4 até T_4 = 350\\ \mathrm{K}.
  • Compressão adiabática reversível 4\to5 até P_5 = 2{,}758\\ \mathrm{MPa}.
  • Aquecimento a pressão constante 5\to1 até T_1 = 700\\ \mathrm{K}, fechando o ciclo.
Constantes e relações que serão usadas (fornecidas ou padrão):
  • n = 1 mol.
  • C_P = 29{,}3\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}} (dado).
  • R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}} (constante dos gases).
  • C_V = C_P - R = 29{,}3 - 8{,}314 = 20{,}986\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}.
  • Para gás ideal: PV = nRT.
  • Convenção de sinais adotada: W = trabalho realizado pelo sistema; primeira lei escrita como \Delta U = Q - W. Assim, em compressão W<0, em expansão W>0. Para processos reversíveis usa-se W=\int P\,dV (positivo se o sistema realiza trabalho).
  • Para isotérmico reversível: W = nRT\ln\!\bigl(\dfrac{V_2}{V_1}\bigr) e \Delta U=0.
  • Para processo a volume constante: W=0, \Delta U = nC_V\Delta T, \Delta H = nC_P\Delta T, Q=\Delta U.
  • Para processo a pressão constante: W = P\Delta V = nR\Delta T, \Delta H = nC_P\Delta T, \Delta U = nC_V\Delta T, Q=\Delta H.
  • Para adiabático reversível: Q=0, \Delta U = -W e relações PV^{\gamma}= const e T V^{\gamma-1}= const, com \gamma = C_P/C_V.

Passo 2

Calcular volumes e algumas grandezas auxiliares dos estados iniciais (usar PV=nRT):
  • Energia termo-constante inicial nRT_1:
nRT_1 = 1\cdot 8{,}314\cdot 700 = 5819{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Volume no estado 1:
V_1 = \dfrac{nRT_1}{P_1}=\dfrac{5819{,}8}{2{,}758\times10^{6}} \approx 2{,}1096\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume no estado 2 (isoterma a 700\\ \mathrm{K}):
V_2 = \dfrac{nRT_1}{P_2}=\dfrac{5819{,}8}{0{,}552\times10^{6}}\approx 1{,}0548\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.
(Observe que V_2/V_1 = P_1/P_2 \approx 2{,}758/0{,}552 \approx 5.)
  • Na transformação 2\to3 o volume é constante: V_3 = V_2.
  • Pressão no estado 3 (constante V_2, \,P\propto T):
P_3 = P_2\frac{T_3}{T_2} = 0{,}552\\ \mathrm{MPa}\cdot\frac{437{,}5}{700} = 0{,}345\\ \mathrm{MPa}.
  • Na transformação 3\to4 a pressão é constante ( P_4=P_3=0{,}345\\ \mathrm{MPa}). Logo
V_4 = \dfrac{nRT_4}{P_4}=\dfrac{8{,}314\cdot350}{0{,}345\times10^{6}}\approx 8{,}438\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Etapa 1 (1\to2): expansão isotérmica reversível a T=700\\ \mathrm{K}.
  • Fórmulas: \Delta U_{12}=0, W_{12}=nRT\ln\!\bigl(\dfrac{V_2}{V_1}\bigr), Q_{12}=W_{12}, \Delta H_{12}=0.
  • Cálculo:
W_{12}=5819{,}8\cdot\ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr)=5819{,}8\cdot\ln(5)\approx 5819{,}8\cdot1{,}609438\approx 9371{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Portanto:
Q_{12}\approx 9371{,}3\\ \mathrm{J},\quad W_{12}\approx 9371{,}3\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{12}=0,\quad \Delta H_{12}=0.

Passo 4

Etapa 2 (2\to3): resfriamento a volume constante ( V= const) de 700\\ \mathrm{K} para 437{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Fórmulas: W_{23}=0, \Delta U_{23}=nC_V(T_3-T_2), \Delta H_{23}=nC_P(T_3-T_2), Q_{23}=\Delta U_{23}.
  • \Delta T_{23}=437{,}5-700=-262{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Cálculos:
\Delta U_{23}=1\cdot20{,}986\cdot(-262{,}5)\approx -5505{,}1\\ \mathrm{J},
\Delta H_{23}=1\cdot29{,}3\cdot(-262{,}5)\approx -7696{,}1\\ \mathrm{J},
W_{23}=0,\qquad Q_{23}\approx -5505{,}1\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Etapa 3 (3\to4): resfriamento a pressão constante ( P=P_3) de 437{,}5\\ \mathrm{K} para 350\\ \mathrm{K}.
  • Fórmulas: W_{34}=nR(T_4-T_3), \Delta H_{34}=nC_P(T_4-T_3), \Delta U_{34}=nC_V(T_4-T_3), Q_{34}=\Delta H_{34}.
  • \Delta T_{34}=350-437{,}5=-87{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Cálculos:
W_{34}=8{,}314\cdot(-87{,}5)\approx -727{,}5\\ \mathrm{J},
\Delta U_{34}=20{,}986\cdot(-87{,}5)\approx -1836{,}3\\ \mathrm{J},
\Delta H_{34}=29{,}3\cdot(-87{,}5)\approx -2563{,}8\\ \mathrm{J},
Q_{34}=\Delta H_{34}\approx -2563{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Etapa 4 (4\to5): compressão adiabática reversível até P_5 = 2{,}758\\ \mathrm{MPa}.
  • Para adiabático reversível Q_{45}=0 e \Delta U_{45}=-W_{45}. Usaremos as relações adiabáticas para obter V_5 e T_5:
\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{29{,}3}{20{,}986}\approx 1{,}3967.
P_4 V_4^{\gamma} = P_5 V_5^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad V_5 = V_4\left(\dfrac{P_4}{P_5}\right)^{1/\gamma}.
  • Cálculo numérico:
\frac{P_4}{P_5}=\frac{0{,}345}{2{,}758}\approx 0{,}1250906,\qquad \left(\frac{P_4}{P_5}\right)^{1/\gamma}\approx 0{,}225633,
V_5\approx 8{,}438\times10^{-3}\cdot 0{,}225633 \approx 1{,}9035\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperatura no estado 5 (pela equação de estado):
T_5=\dfrac{P_5 V_5}{nR}\approx \dfrac{2{,}758\times10^{6}\cdot 1{,}9035\times10^{-3}}{8{,}314}\approx 631{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Agora \Delta T_{45}=T_5-T_4\approx 631{,}5-350=281{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Cálculos de energia:
\Delta U_{45}=nC_V\Delta T \approx 20{,}986\cdot281{,}5\approx +5904{,}5\\ \mathrm{J},
\Delta H_{45}=nC_P\Delta T \approx 29{,}3\cdot281{,}5\approx +8247{,}5\\ \mathrm{J},
Q_{45}=0,\qquad W_{45} = Q_{45}-\Delta U_{45} = -\Delta U_{45}\approx -5904{,}5\\ \mathrm{J}.
(Interpretação: W_{45}<0 porque foi compressão — trabalho realizado sobre o sistema.)

Passo 7

Etapa 5 (5\to1): aquecimento a pressão constante P_5=P_1 de T_5 até T_1=700\\ \mathrm{K}.
  • Fórmulas: \Delta H_{51}=nC_P(T_1-T_5), W_{51}=nR(T_1-T_5), \Delta U_{51}=nC_V(T_1-T_5), Q_{51}=\Delta H_{51}.
  • \Delta T_{51}=700-631{,}5=68{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Cálculos:
\Delta H_{51}=29{,}3\cdot68{,}5\approx 2008{,}8\\ \mathrm{J},
W_{51}=8{,}314\cdot68{,}5\approx 569{,}6\\ \mathrm{J},
\Delta U_{51}=20{,}986\cdot68{,}5\approx 1439{,}3\\ \mathrm{J},
Q_{51}=\Delta H_{51}\approx 2008{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Verificação das somas (ciclo fechado) e conclusão para a parte (b).
  • Somando as variações de energia interna ao longo do ciclo obtém-se (numérico arredondado) algo muito próximo de zero, pelo fato do sistema retornar ao estado inicial:
\sum \Delta U \approx 0 \quad\text{(teoricamente exatamente }0\text{)}.
  • Analogamente para a entalpia:
\sum \Delta H \approx 0 \quad\text{(teoricamente exatamente }0\text{)}.
Isto confirma que, como o estado final coincide com o inicial, as variações totais de energia interna e entalpia do ciclo são nulas.

Passo 9

Instruções para desenhar o processo no diagrama P versus V (parte (c)), com isotermas:
  • Desenhar eixos: V no eixo horizontal e P no vertical.
  • Traçar as isotermas (hipérboles) correspondentes a T=700\\ \mathrm{K}, T=437{,}5\\ \mathrm{K} e T=350\\ \mathrm{K}. As isotermas superiores (maior T) ficam mais acima.
  • Marcar os estados e ligar conforme:
    1. 1\to2: movimento ao longo da isoterma T=700\\ \mathrm{K} para a direita (expansão isotérmica, P cai, V aumenta).
    2. 2\to3: segmento vertical para baixo em V=V_2 (volume constante), até atingir a isoterma correspondente a T_3=437{,}5\\ \mathrm{K}.
    3. 3\to4: segmento horizontal para a esquerda em P=P_3 (pressão constante), até atingir a isoterma de T_4=350\\ \mathrm{K} (a volume diminui).
    4. 4\to5: curva adiabática (mais “íngreme” que a isoterma) subindo até P_5=2{,}758\\ \mathrm{MPa} (compressão).
    5. 5\to1: segmento a pressão constante P=P_1 para a direita enquanto a temperatura sobe de T_5 até 700\\ \mathrm{K}, retornando ao ponto 1.
Essas instruções permitem desenhar um ciclo fechado no diagrama P- V com as isotermas indicadas; a adiabática fica entre as isotermas e intersecta P=P_1 no ponto 5.

Resposta

a) Etapa 1\to2 (isotérmico 700\\ \mathrm{K}):
Q_{12}=+9371{,}3\\ \mathrm{J}
W_{12}=+9371{,}3\\ \mathrm{J}
\Delta U_{12}=0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{12}=0\\ \mathrm{J}
Etapa 2\to3 (isocórico até 437{,}5\\ \mathrm{K}):
Q_{23}=-5505{,}1\\ \mathrm{J}
W_{23}=0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{23}=-5505{,}1\\ \mathrm{J}
\Delta H_{23}=-7696{,}1\\ \mathrm{J}
Etapa 3\to4 (isobárico até 350\\ \mathrm{K}):
Q_{34}=-2563{,}8\\ \mathrm{J}
W_{34}=-727{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta U_{34}=-1836{,}3\\ \mathrm{J}
\Delta H_{34}=-2563{,}8\\ \mathrm{J}
Etapa 4\to5 (adiabática reversível até P_5=2{,}758\\ \mathrm{MPa}):
Q_{45}=0\\ \mathrm{J}
W_{45}\approx -5904{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta U_{45}\approx +5904{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta H_{45}\approx +8247{,}5\\ \mathrm{J}
Etapa 5\to1 (isobárico até 700\\ \mathrm{K}):
Q_{51}\approx +2008{,}8\\ \mathrm{J}
W_{51}\approx +569{,}6\\ \mathrm{J}
\Delta U_{51}\approx +1439{,}3\\ \mathrm{J}
\Delta H_{51}\approx +2008{,}8\\ \mathrm{J}
b) Variação total do ciclo:
\displaystyle \sum \Delta U = 0\\ \mathrm{J} (teoricamente exato, numericamente ~0 devido ao arredondamento)
\displaystyle \sum \Delta H = 0\\ \mathrm{J} (teoricamente exato, numericamente ~0 devido ao arredondamento)
c) Representação P versus V: descrever conforme o passo 9 — isoterma T=700\\ \mathrm{K} ligando 1\to2 (expansão), vertical 2\to3 ( V constante), horizontal 3\to4 ( P constante), curva adiabática 4\to5 subindo até P_5=P_1, e finalmente segmento isobárico 5\to1 fechando o ciclo.

Exercícios relacionados