Monte a integral dupla que representa o volume dos sólidos descritos e, em seguida, calcule.
O sólido sob o plano z=12-2 x-y e acima da região triangular limitada pelos eixos coordenados e pela reta 2 x+y=12.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Superfície superior: z=12-2x-y.
  • Região no plano xy: triângulo limitado pelos eixos coordenados x=0, y=0 e pela reta 2x+y=12.
  • Pedido: montar a integral dupla que representa o volume do sólido situado abaixo da superfície dada e acima dessa região triangular, e então calcular esse volume.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Interseção da reta com o eixo x: tomar y=0 em 2x+y=12 x=6. Logo um vértice é (6,0).
  • Interseção da reta com o eixo y: tomar x=0 em 2x+y=12 y=12. Logo outro vértice é (0,12).
  • O triângulo tem vértices (0,0), (6,0) e (0,12).
  • A região pode ser descrita por \{(x,y)\mid x\ge0,\; y\ge0,\; 2x+y\le12\}.

Passo 2

Ideia para montar a integral:
  • O volume sob uma superfície z=f(x,y) e sobre uma região D no plano xy é dado por
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui a função altura é f(x,y)=12-2x-y. O elemento de área dA representa um pequeno retângulo de área no plano xy; somando f(x,y)\,dA sobre toda a região obtém-se o volume.
  • Sempre é bom verificar se f(x,y) é não negativa na região (não é obrigatório, mas ajuda a interpretar): nos pontos da fronteira 2x+y=12 tem z=0, e no interior z>0. Então faz sentido como “altura” positiva.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e os limites:
  • Vou integrar primeiro em y (de baixo para cima) e depois em x (da esquerda para a direita).
  • Para um x fixo entre 0 e 6, o y varia de 0 até a reta y=12-2x.
  • Portanto a integral dupla que representa o volume é
V=\int_{x=0}^{6}\int_{y=0}^{12-2x} \bigl(12-2x-y\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
  • Aplicar a primitivação termo a termo. Para x fixo,
\int_{0}^{12-2x} \bigl(12-2x-y\bigr)\,dy = \left[(12-2x)\,y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=12-2x}.
  • Avaliando nos limites:
(12-2x)(12-2x) - \frac{(12-2x)^{2}}{2} = \frac{(12-2x)^{2}}{2}.
  • Logo a integral reduz-se a
V=\int_{0}^{6} \frac{(12-2x)^{2}}{2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x. Faço por substituição para ficar limpo:
  • Seja u=12-2x. Então du=-2\,dx ou dx=-\dfrac{du}{2}.
  • Quando x=0 tem u=12. Quando x=6 tem u=0.
  • A integral passa a
V=\int_{u=12}^{0} \frac{u^{2}}{2}\left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{1}{4}\int_{0}^{12} u^{2}\,du,
onde inverti os limites para eliminar o sinal negativo.
  • Calcular a primitiva: \displaystyle \int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}. Assim
V=\frac{1}{4}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{12} =\frac{1}{4}\cdot\frac{12^{3}}{3}.
  • Calcular numericamente: 12^{3}=1728. Então
V=\frac{1}{4}\cdot\frac{1728}{3}=\frac{1}{4}\cdot 576=144.

Passo 6

Resumo final e interpretação:
  • A integral montada foi \displaystyle V=\int_{0}^{6}\int_{0}^{12-2x} (12-2x-y)\,dy\,dx.
  • O cálculo da integral deu V=144. Esse número é o volume do sólido pedido (unidades de volume, conforme unidades de x,y,z do enunciado).

Resposta

144

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