Monte a integral dupla que representa o volume dos sólidos descritos e, em seguida, calcule.
O sólido sob o plano
e acima da região triangular limitada pelos eixos coordenados e pela reta
.
O sólido sob o plano
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Superfície superior:
. - Região no plano
: triângulo limitado pelos eixos coordenados , e pela reta . - Pedido: montar a integral dupla que representa o volume do sólido situado abaixo da superfície dada e acima dessa região triangular, e então calcular esse volume.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Interseção da reta com o eixo
: tomar em dá . Logo um vértice é . - Interseção da reta com o eixo
: tomar em dá . Logo outro vértice é . - O triângulo tem vértices
, e . - A região pode ser descrita por
.
Passo 2
Ideia para montar a integral:
- O volume sob uma superfície
e sobre uma região no plano é dado por
Aqui a função altura é
. O elemento de área
representa um pequeno retângulo de área no plano
; somando
sobre toda a região obtém-se o volume.
- Sempre é bom verificar se
é não negativa na região (não é obrigatório, mas ajuda a interpretar): nos pontos da fronteira tem , e no interior . Então faz sentido como “altura” positiva.
Passo 3
Escolher a ordem de integração e os limites:
- Vou integrar primeiro em
(de baixo para cima) e depois em (da esquerda para a direita). - Para um
fixo entre e , o varia de até a reta . - Portanto a integral dupla que representa o volume é
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
- Aplicar a primitivação termo a termo. Para
fixo,
- Avaliando nos limites:
- Logo a integral reduz-se a
Passo 5
Calcular a integral em
. Faço por substituição para ficar limpo:
- Seja
. Então ou . - Quando
tem . Quando tem . - A integral passa a
onde inverti os limites para eliminar o sinal negativo.
- Calcular a primitiva:
. Assim
- Calcular numericamente:
. Então
Passo 6
Resumo final e interpretação:
- A integral montada foi
. - O cálculo da integral deu
. Esse número é o volume do sólido pedido (unidades de volume, conforme unidades de do enunciado).