Mostrar que o conjunto S das soluciões do Sistema linear
\left\{\begin{array}{l}5 x+y+2 z-3 \omega=0 \\\\ 6 x+y-3 z+2 \omega=0\end{array}\right. éum espaci vetorial sobre R
Exiba uma base de S.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S\) das soluções do sistema linear homogêneo \[\begin{cases} 5x+y+2z-3\omega=0,\\[4pt] 6x+y-3z+2\omega=0, \end{cases}
e pede duas coisas:
  • Mostrar que S\] é um espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}.
  • Exibir uma base de S.
Informações relevantes fornecidas:
  • São quatro incógnitas: x,y,z,\omega.
  • São duas equações lineares homogêneas (termos constantes igual a zero).
  • Queremos caracterizar todas as tuplas (x,y,z,\omega)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem as equações e então mostrar propriedades de espaço vetorial e fornecer uma base.]

Passo 2

Por que um conjunto de soluções de um sistema homogêneo tende a ser um espaço vetorial — ideia geral e verificação direta.
Primeiro, lembrando o que é preciso checar para provar que um subconjunto [S\subseteq\mathbb{R}^4) é um subespaço vetorial (portanto um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com as operações usuais):
  1. S não é vazio (tipicamente mostramos que contém o vetor zero).
  2. Fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Agora aplico isso ao nosso S. Denote por A a matriz dos coeficientes do sistema e por 0 o vetor nulo; então S=\{v\in\mathbb{R}^4\mid A v=0\}. Mas vou fazer a verificação de forma elementar (sem falar de matriz explicitamente):
  • Vetor zero: substituindo x=y=z=\omega=0 nas equações, ambas ficam 0=0. Logo 0\in S. Portanto S não é vazio.
  • Fechamento por soma: suponha u=(x_1,y_1,z_1,\omega_1)\in S e v=(x_2,y_2,z_2,\omega_2)\in S. Então, pelas equações,
    \begin{cases} 5x_1+y_1+2z_1-3\omega_1=0,\\[2pt] 6x_1+y_1-3z_1+2\omega_1=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} 5x_2+y_2+2z_2-3\omega_2=0,\\[2pt] 6x_2+y_2-3z_2+2\omega_2=0. \end{cases}
    Somando termo a termo as duas primeiras equações e as duas segundas, obtemos que u+v=(x_1+x_2,\ldots)\] satisfaz as mesmas equações, logo \(u+v\in S.
  • Fechamento por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,\omega)\in S. Multiplicando as equações por \alpha obtemos que \alpha u também satisfaz as equações, logo \alpha u\in S.
Como as três propriedades valem, S é um subespaço de \mathbb{R}^4, isto é, um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.]

Passo 3

Agora vamos parametrizar todas as soluções — isto serve para encontrar uma base. Vou resolver o sistema por eliminação.
Escrevo novamente as equações:
\begin{cases} 5x+y+2z-3\omega=0,\\[4pt] 6x+y-3z+2\omega=0. \end{cases}
Subtraio a primeira equação da segunda (segunda menos primeira) para eliminar y:
(6x-5x)+(y-y)+(-3z-2z)+(2\omega+3\omega)=0,
isto é,
x-5z+5\omega=0.
Dessa igualdade isolamos x:
x=5z-5\omega.
Agora substituo x em uma das equações originais (uso a primeira):
5(5z-5\omega)+y+2z-3\omega=0.
Faço as contas passo a passo:
25z-25\omega + y + 2z -3\omega = 0,
y + (25z+2z) +(-25\omega-3\omega)=0,
y + 27z -28\omega = 0.
Logo
y = -27z + 28\omega.
Portanto as variáveis x,y ficam expressas em função de z e \omega, que são livres (parâmetros). Assim a solução geral é
(x,y,z,\omega) = (5z-5\omega,\; -27z+28\omega,\; z,\; \omega).]

Passo 4

Escrever a solução em forma de combinação linear e extrair geradores.
Coloco a expressão em forma linear em z e \omega:
(x,y,z,\omega) = z\,(5,-27,1,0) + \omega\,(-5,28,0,1).
Isto mostra imediatamente que todo vetor em S é combinação linear dos dois vetores
v_1=(5,-27,1,0),\qquad v_2=(-5,28,0,1).
Logo S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Agora preciso verificar que esses dois vetores são linearmente independentes (para que formem uma base). Se existirem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 = 0,
isso dá componente a componente:
(5a-5b,\; -27a+28b,\; a,\; b)=(0,0,0,0).
Das terceira e quarta componentes vem imediatamente a=0 e b=0. Portanto só a combinação trivial dá zero, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Como v_1,v_2 geram S e são linearmente independentes, eles formam uma base de S. O número de vetores na base é 2, então \dim S=2.

Passo 5

Resumo final e conclusão pedagógica curta (como aplicar em prova).
  • Técnica rápida: para sistemas homogêneos sempre procure expressar algumas variáveis em função de variáveis livres; o conjunto das soluções é um subespaço (fechado por soma e multiplicação escalar) e a forma paramétrica dá os vetores geradores. Verifique independência para extrair uma base.
  • No caso concreto, z e \omega foram escolhidos como parâmetros livres, resultando em duas direções independentes que geram todas as soluções.

Resposta

S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.\newline
Uma base de S é \{(5,-27,1,0),\;(-5,28,0,1)\}.

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