Mostre que a aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+2 z)
é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+2z).
O que nos pedem: mostrar que T é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}. Em termos práticos, isso significa mostrar que T é linear e bijetora (equivalente a dizer que é invertível). As informações que temos são exatamente a fórmula de T para um vetor genérico (x,y,z).
Passo 2
Definição de linearidade (rápida): uma aplicação L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha\in\mathbb{R},
pois A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+z\y+z\x+2z\end{pmatrix}=T(x,y,z).]
Passo 4
Critério de invertibilidade para matrizes: uma aplicação linear representada por uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0. Vamos calcular \det(A).
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível, portanto T é invertível (bijetora). Isto mostra que T é um automorfismo de \mathbb{R}^3.]
Passo 5
Para fixar a intuição, vamos achar explicitamente a inversa T^{-1}. Seja (u,v,w)=T(x,y,z), ou seja
u=x+z,\qquad v=y+z,\qquad w=x+2z.
Queremos resolver para x,y,z em função de u,v,w. Subtraindo u de w obtemos
w-u=(x+2z)-(x+z)=z,
portanto
z=w-u.
Em seguida
x=u-z=u-(w-u)=2u-w,
y=v-z=v-(w-u)=u+v-w.
Portanto a inversa é a transformação linear
T^{-1}(u,v,w)=(2u-w,\;u+v-w,\;w-u).
Verificação rápida: aplicando T^{-1} sobre T(x,y,z) recupera (x,y,z), cujo cálculo foi feito acima (substituições), confirmando que é de fato a inversa.
Resposta
T é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.
Uma forma explícita da inversa é T^{-1}(u,v,w)=(2u-w,\;u+v-w,\;w-u).