Mostre que a área da superfície dada por
, onde
é
u.a.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se a área da superfície definida por
sobre a região do plano dada por . - A região de projeção no plano
é o disco de raio centrado na origem: . - Precisamos calcular a área da parte da superfície acima desse disco. Não há imagens adicionais.
Passo 2
Fórmula para a área de uma superfície do tipo gráfico
.
Quando uma superfície é dada por
sobre uma região
no plano
, a área da superfície é dada por
Explicação curta (intuitiva) dessa fórmula: parametrizamos a superfície por
. Os vetores
e
tangentes à superfície têm produto vetorial cuja magnitude dá a área do paralelogramo elemental sobre a superfície correspondente ao retângulo elemental
no plano. Calculando
obtém-se a raiz quadrada do termo acima, daí a fórmula. Esta é a ferramenta que vamos usar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Para
usamos a regra da cadeia:
De modo análogo,
Observe que em
essas derivadas não estão definidas, mas isso não afeta a integral porque é um ponto de medida zero.
Passo 4
Calcular o integrando
.
Para
temos
Portanto o integrando é constante:
Logo, a área da superfície reduz-se a
Passo 5
Calcular a integral da área da projeção
(o disco de raio
).
A área do disco de raio
é
. Assim
Se quiser ver em coordenadas polares: com
,
,
e
,
Passo 6
Multiplicar e concluir.
Portanto
Comentário final e nota sobre o ponto origem: a fórmula usou as derivadas que não estão definidas em
, mas isso não altera o resultado porque um ponto isolado não contribui para a integral dupla (medida zero). Geometricamente, a superfície é o cone reto
de altura
e raio de base
; a área lateral do cone também dá
, consistente com o cálculo.