Mostre que a área da superfície dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, onde x^{2}+y^{2} \leq 1 é \pi \sqrt{2} u.a.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a área da superfície definida por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre a região do plano dada por x^{2}+y^{2}\leq 1.
  • A região de projeção no plano xy é o disco de raio 1 centrado na origem: D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
  • Precisamos calcular a área da parte da superfície acima desse disco. Não há imagens adicionais.

Passo 2

Fórmula para a área de uma superfície do tipo gráfico z=f(x,y).
Quando uma superfície é dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área da superfície é dada por
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.Á
Explicação curta (intuitiva) dessa fórmula: parametrizamos a superfície por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)). Os vetores \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y tangentes à superfície têm produto vetorial cuja magnitude dá a área do paralelogramo elemental sobre a superfície correspondente ao retângulo elemental dA no plano. Calculando \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y obtém-se a raiz quadrada do termo acima, daí a fórmula. Esta é a ferramenta que vamos usar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra da cadeia:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{1/2} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De modo análogo,
f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Observe que em (0,0) essas derivadas não estão definidas, mas isso não afeta a integral porque é um ponto de medida zero.

Passo 4

Calcular o integrando \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos
f_x^2+f_y^2=\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1.
Portanto o integrando é constante:
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Logo, a área da superfície reduz-se a
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{2}\,dA=\sqrt{2}\iint_{D}dA.Á

Passo 5

Calcular a integral da área da projeção D (o disco de raio 1).
A área do disco de raio 1 é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Assim
\iint_{D}dA=\pi.
Se quiser ver em coordenadas polares: com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta e 0\le r\le1,\\\ 0\le\theta<2\pi,
\iint_{D}dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1}d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta=\pi.

Passo 6

Multiplicar e concluir.
Portanto
\text{Área}=\sqrt{2}\cdot \pi=\pi\sqrt{2}.Á
Comentário final e nota sobre o ponto origem: a fórmula usou as derivadas que não estão definidas em (0,0), mas isso não altera o resultado porque um ponto isolado não contribui para a integral dupla (medida zero). Geometricamente, a superfície é o cone reto z=r de altura 1 e raio de base 1; a área lateral do cone também dá \pi r s=\pi\cdot1\cdot\sqrt{1^2+1^2}=\pi\sqrt{2}, consistente com o cálculo.

Resposta

\pi\sqrt{2}\\ \text{u.a.}

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