Mostre que se (B-C) D=0 onde B e C são matrizes m \times n e D é inversível então B=C.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: B e C são matrizes de tamanho m\times n.
  • Dados: D é uma matriz inversível. Para que o produto (B-C)D esteja bem definido, assumimos que D tem tamanho n\times n.
  • Dados: (B-C)D = 0_{m\times n}, onde 0_{m\times n} é a matriz nula de tamanho m\times n.
  • Pedido: Mostrar que B=C.

Passo 2

O que significa dizer que D é inversível? Significa que existe uma matriz D^{-1} de tamanho n\times n tal que
D D^{-1} = D^{-1} D = I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. A identidade I_n tem a propriedade de não alterar uma matriz compatível quando multiplicada: para qualquer matriz X de tamanho m\times n vale X I_n = X (produto à direita) e para qualquer matriz Y de tamanho n\times p vale I_n Y = Y (produto à esquerda). Outra propriedade usada será a associativa da multiplicação de matrizes: (XY)Z = X(YZ) sempre que os produtos estiverem definidos.

Passo 3

Estratégia: aproveitar o fato de que D tem inversa D^{-1} e multiplicar a equação (B-C)D = 0_{m\times n} pela direita por D^{-1}. Isso é permitido porque as dimensões casam: (B-C)D é m\times n e D^{-1} é n\times n, então ((B-C)D)D^{-1} está bem definido e tem tamanho m\times n.

Passo 4

Multiplicando a equação dada pela direita por D^{-1} e usando associatividade, obtemos
((B-C)D)D^{-1} = 0_{m\times n}D^{-1}.
Pela associatividade, o lado esquerdo é
(B-C)(D D^{-1}).
Como D D^{-1}=I_n, isso fica
(B-C)I_n = 0_{m\times n}D^{-1}.

Passo 5

Usando que multiplicar a matriz nula por qualquer matriz compatível dá a matriz nula, temos 0_{m\times n}D^{-1}=0_{m\times n}. E multiplicar por I_n não altera a matriz, então (B-C)I_n = B-C. Portanto a igualdade do Passo 4 reduz-se a
B-C = 0_{m\times n}.

Passo 6

Se B-C = 0_{m\times n}, então somando C aos dois lados (ou interpretando a igualdade) obtemos B=C. Isso conclui a demonstração: a multiplicação à direita por uma matriz inversível pode ser “cancelada”.

Resposta

B=C

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