Mostre que se
onde
e
são matrizes
e
é inversível então
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados:
e são matrizes de tamanho . - Dados:
é uma matriz inversível. Para que o produto esteja bem definido, assumimos que tem tamanho . - Dados:
, onde é a matriz nula de tamanho . - Pedido: Mostrar que
.
Passo 2
O que significa dizer que
é inversível? Significa que existe uma matriz
de tamanho
tal que
onde
é a matriz identidade
. A identidade
tem a propriedade de não alterar uma matriz compatível quando multiplicada: para qualquer matriz
de tamanho
vale
(produto à direita) e para qualquer matriz
de tamanho
vale
(produto à esquerda). Outra propriedade usada será a associativa da multiplicação de matrizes:
sempre que os produtos estiverem definidos.
Passo 3
Estratégia: aproveitar o fato de que
tem inversa
e multiplicar a equação
pela direita por
. Isso é permitido porque as dimensões casam:
é
e
é
, então
está bem definido e tem tamanho
.
Passo 4
Multiplicando a equação dada pela direita por
e usando associatividade, obtemos
Pela associatividade, o lado esquerdo é
Como
, isso fica
Passo 5
Usando que multiplicar a matriz nula por qualquer matriz compatível dá a matriz nula, temos
. E multiplicar por
não altera a matriz, então
. Portanto a igualdade do Passo 4 reduz-se a
Passo 6
Se
, então somando
aos dois lados (ou interpretando a igualdade) obtemos
. Isso conclui a demonstração: a multiplicação à direita por uma matriz inversível pode ser “cancelada”.