Mostre que se
e
são matrizes não singulares de ordem
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são matrizes não singulares (invertíveis) de ordem
. Ou seja, existem matrizes
,
e
tais que
O pedido é mostrar que
Passo 2
Relembrando a definição de inversa de uma matriz quadrada: para uma matriz
de ordem
, uma matriz
é inversa de
se e somente se
onde
é a matriz identidade
. Também usaremos que a multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis,
. Essas são as propriedades básicas que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Estratégia concreta e simples (sem pular etapas): vou mostrar que a matriz
é tanto uma inversa à direita quanto uma inversa à esquerda de
. Ou seja, vou calcular
e
e mostrar que ambos são iguais a
. Se uma matriz quadrada tem uma inversa à direita e também à esquerda (ou se uma única matriz serve como as duas), então essa matriz é a inversa única.
Passo 4
Calculemos primeiro a multiplicação na ordem
. Usando associatividade podemos recolocar parênteses sem alterar o produto; vou agrupar convenientemente para usar as igualdades
,
e
.
Por associatividade podemos escrever
Dentro dos parênteses aparecem
, que é
. Substituindo:
Como multiplicar por
não muda a matriz, temos
Agora
, então
Novamente multiplicar por
é neutro, logo
E finalmente
. Concluímos então
Passo 5
Agora calculemos a multiplicação na ordem inversa
. Procedemos do mesmo modo, usando associatividade e as cancelas inversas:
Agrupando convenientemente:
Dentro dos parênteses está
, então
O
some:
E
, então
Isso dá
e como
obtemos
Passo 6
Já mostramos que
Pelo que isso significa que
é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
. Para matrizes quadradas, a inversa é única, então
é justamente
.