Mostre que se A, B e C são matrizes não singulares de ordem n, então (A B C)^{-1}=C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são matrizes não singulares (invertíveis) de ordem n. Ou seja, existem matrizes A^{-1}, B^{-1} e C^{-1} tais que
A A^{-1}=A^{-1}A=I_n,\qquad B B^{-1}=B^{-1}B=I_n,\qquad C C^{-1}=C^{-1}C=I_n.
O pedido é mostrar que
( A B C )^{-1}=C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 2

Relembrando a definição de inversa de uma matriz quadrada: para uma matriz M de ordem n, uma matriz M^{-1} é inversa de M se e somente se
M M^{-1}=M^{-1} M=I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Também usaremos que a multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis, (XY)Z=X(YZ). Essas são as propriedades básicas que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Estratégia concreta e simples (sem pular etapas): vou mostrar que a matriz C^{-1} B^{-1} A^{-1} é tanto uma inversa à direita quanto uma inversa à esquerda de ABC. Ou seja, vou calcular
(ABC)\,(C^{-1}B^{-1}A^{-1})
e
(C^{-1}B^{-1}A^{-1})\,(ABC)
e mostrar que ambos são iguais a I_n. Se uma matriz quadrada tem uma inversa à direita e também à esquerda (ou se uma única matriz serve como as duas), então essa matriz é a inversa única.

Passo 4

Calculemos primeiro a multiplicação na ordem (ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1}). Usando associatividade podemos recolocar parênteses sem alterar o produto; vou agrupar convenientemente para usar as igualdades C C^{-1}=I_n, B B^{-1}=I_n e A A^{-1}=I_n.
(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1})
Por associatividade podemos escrever
= A\bigl(B C C^{-1} B^{-1} A^{-1}\bigr).
Dentro dos parênteses aparecem C C^{-1}, que é I_n. Substituindo:
= A\bigl(B I_n B^{-1} A^{-1}\bigr).
Como multiplicar por I_n não muda a matriz, temos
= A\bigl(B B^{-1} A^{-1}\bigr).
Agora B B^{-1}=I_n, então
= A\bigl(I_n A^{-1}\bigr).
Novamente multiplicar por I_n é neutro, logo
= A A^{-1}.
E finalmente A A^{-1}=I_n. Concluímos então
(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1})=I_n.

Passo 5

Agora calculemos a multiplicação na ordem inversa (C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC). Procedemos do mesmo modo, usando associatividade e as cancelas inversas:
(C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC)
Agrupando convenientemente:
= C^{-1}\bigl(B^{-1}A^{-1}A B C\bigr).
Dentro dos parênteses está A^{-1}A=I_n, então
= C^{-1}\bigl(B^{-1} I_n B C\bigr).
O I_n some:
= C^{-1}\bigl(B^{-1} B C\bigr).
E B^{-1}B=I_n, então
= C^{-1}\bigl(I_n C\bigr).
Isso dá
= C^{-1} C,
e como C^{-1}C=I_n obtemos
(C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC)=I_n.

Passo 6

Já mostramos que
(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1})=I_n \qquad\text{e}\qquad (C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC)=I_n.
Pelo que isso significa que C^{-1}B^{-1}A^{-1} é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de ABC. Para matrizes quadradas, a inversa é única, então C^{-1}B^{-1}A^{-1} é justamente (ABC)^{-1}.

Resposta

(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}

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