Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três coisas:
- Que
. - Que
. - Que, de forma geral, os autovalores de
são .
Informações relevantes (implícitas no problema):
-
é o operador de inversão temporal (time-reversal). Ele é antiunitário (envolve conjugação complexa). -
são os autoestados simultâneos de e , com . - Espera-se uma expressão explícita da ação de
sobre e o cálculo de nessa base.
Passo 2
Conceitos essenciais e propriedade base que vamos usar (explicado devagar).
- Antiunitaridade: um operador antiunitário
age sobre um escalar complexo e um ket como
onde
é o complexo conjugado de
. Isso é importante porque sinais ou fases complexas saem conjugadas quando aplicamos
.
- Propriedade com impulso angular: o operador de inversão temporal inverte o sinal dos operadores angulares:
Isto significa, por exemplo,
. Em palavras: tempo-reverso vira o momento angular de sinal trocado.
Passo 3
Construção prática padrão do operador
que facilita cálculos.
- Uma escolha concreta e padrão (usada por Wigner) é escrever
onde
é o operador de conjugação complexa (que age sobre coeficientes em uma base dando conjugado complexo) e
é a rotação pelo ângulo
em torno do eixo
. Esta expressão satisfaz
(pode-se verificar usando que a rotação por
em torno de
envia
e
conjuga os fatores
que aparecem em geradores).
- O motivo prático: a rotação por
em torno de troca o eixo por , e a conjugação complexa corrige sinais imaginários de forma que o conjunto dá exatamente a ação de inversão temporal sobre os operadores.
Passo 4
A ação de
na base
.
- Definimos a matriz de rotação em torno de
por ângulo como
- Um fato padrão (identidade de Wigner para
) é
Isto significa, em linguagem de kets,
- Intuição curta e exemplos simples: para
a rotação de em torno de transforma o spin-up em spin-down com fator e o spin-down em spin-up com fator ; para obtém-se fatores que seguem a fórmula acima. Esses exemplos confirmam a identidade geral.
Passo 5
Aplicando
(conjugação complexa) à base
.
- Podemos escolher a fase dos vetores
na base de autovalores de de forma que as componentes desses vetores sejam reais (convenção usual — Condon–Shortley). Com essa escolha, age trivialmente sobre os vetores de base:
- Então, usando a forma concreta de
dada, temos
Essa é a fórmula prática que vamos usar (é a convenção padrão, e é suficiente para determinar
).
Passo 6
Agora calculemos
agindo sobre
.
- Primeiro aplicamos
:
- Agora aplicamos
novamente. Lembre-se: é antiunitário, então ao puxar para fora um escalar devemos tomar o conjugado . Aqui é real (igual a ou ), portanto . Assim
- Usando novamente a fórmula para
em ,
- Portanto
Passo 7
Interpretação e conclusão final sobre inteiros e semi-inteiros.
- Para
inteiro: é par, logo . Assim
- Para
semi-inteiro (meio-ímpar): é ímpar, logo . Assim
- Portanto, de modo geral, os autovalores de
na representação de momento angular são .
Resposta
Os autovalores de