Mostre que:
\begin{gathered} \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle=-1\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle \\ \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle=+1\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle \\ \text { E os autovalores de } \boldsymbol{\Theta}^{2} \text { são }(-1)^{2 j} \end{gathered}ã

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três coisas:
  • Que \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text{semi-inteiro}}\right\rangle = -1\left|j_{\text{semi-inteiro}}\right\rangle.
  • Que \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text{inteiro}}\right\rangle = +1\left|j_{\text{inteiro}}\right\rangle.
  • Que, de forma geral, os autovalores de \boldsymbol{\Theta}^{2} são (-1)^{2j}.
Informações relevantes (implícitas no problema):
  • \boldsymbol{\Theta} é o operador de inversão temporal (time-reversal). Ele é antiunitário (envolve conjugação complexa).
  • \{|j,m\rangle\} são os autoestados simultâneos de \mathbf{J}^2 e J_z, com m=-j,\dots,j.
  • Espera-se uma expressão explícita da ação de \boldsymbol{\Theta} sobre |j,m\rangle e o cálculo de \boldsymbol{\Theta}^2 nessa base.

Passo 2

Conceitos essenciais e propriedade base que vamos usar (explicado devagar).
  • Antiunitaridade: um operador antiunitário \boldsymbol{\Theta} age sobre um escalar complexo c e um ket |\psi\rangle como
\boldsymbol{\Theta}\big(c\,|\psi\rangle\big)=c^{*}\,\boldsymbol{\Theta}|\psi\rangle,
onde c^{*} é o complexo conjugado de c. Isso é importante porque sinais ou fases complexas saem conjugadas quando aplicamos \boldsymbol{\Theta}.
  • Propriedade com impulso angular: o operador de inversão temporal inverte o sinal dos operadores angulares:
\boldsymbol{\Theta}\,\mathbf{J}\,\boldsymbol{\Theta}^{-1}=-\mathbf{J}.
Isto significa, por exemplo, \boldsymbol{\Theta}J_{z}\boldsymbol{\Theta}^{-1}=-J_{z}. Em palavras: tempo-reverso vira o momento angular de sinal trocado.

Passo 3

Construção prática padrão do operador \boldsymbol{\Theta} que facilita cálculos.
  • Uma escolha concreta e padrão (usada por Wigner) é escrever
\boldsymbol{\Theta}=e^{-i\pi J_{y}/\hbar}\,K,
onde K é o operador de conjugação complexa (que age sobre coeficientes em uma base dando conjugado complexo) e e^{-i\pi J_{y}/\hbar} é a rotação pelo ângulo \pi em torno do eixo y. Esta expressão satisfaz \boldsymbol{\Theta}\mathbf{J}\boldsymbol{\Theta}^{-1}=-\mathbf{J} (pode-se verificar usando que a rotação por \pi em torno de y envia J_{z}\mapsto -J_{z} e K conjuga os fatores i que aparecem em geradores).
  • O motivo prático: a rotação por \pi em torno de y troca o eixo +z por -z, e a conjugação complexa corrige sinais imaginários de forma que o conjunto dá exatamente a ação de inversão temporal sobre os operadores.

Passo 4

A ação de e^{-i\pi J_{y}/\hbar} na base |j,m\rangle.
  • Definimos a matriz de rotação em torno de y por ângulo \beta como
d^{(j)}_{m',m}(\beta)=\langle j,m'|e^{-i\beta J_{y}/\hbar}|j,m\rangle.
  • Um fato padrão (identidade de Wigner para \beta=\pi) é
d^{(j)}_{m',m}(\pi)=(-1)^{\,j-m}\,\delta_{m',-m}.
Isto significa, em linguagem de kets,
e^{-i\pi J_{y}/\hbar}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,j-m}\,|j,-m\rangle.
  • Intuição curta e exemplos simples: para j=\tfrac{1}{2} a rotação de \pi em torno de y transforma o spin-up em spin-down com fator +1 e o spin-down em spin-up com fator -1; para j=1 obtém-se fatores que seguem a fórmula acima. Esses exemplos confirmam a identidade geral.

Passo 5

Aplicando K (conjugação complexa) à base |j,m\rangle.
  • Podemos escolher a fase dos vetores |j,m\rangle na base de autovalores de J_{z} de forma que as componentes desses vetores sejam reais (convenção usual — Condon–Shortley). Com essa escolha, K age trivialmente sobre os vetores de base:
K\,|j,m\rangle = |j,m\rangle.
  • Então, usando a forma concreta de \boldsymbol{\Theta} dada, temos
\boldsymbol{\Theta}\,|j,m\rangle = e^{-i\pi J_{y}/\hbar}\,K\,|j,m\rangle = e^{-i\pi J_{y}/\hbar}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,j-m}\,|j,-m\rangle.
Essa é a fórmula prática que vamos usar (é a convenção padrão, e é suficiente para determinar \boldsymbol{\Theta}^{2}).

Passo 6

Agora calculemos \boldsymbol{\Theta}^{2} agindo sobre |j,m\rangle.
  • Primeiro aplicamos \boldsymbol{\Theta}:
\boldsymbol{\Theta}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,j-m}\,|j,-m\rangle.
  • Agora aplicamos \boldsymbol{\Theta} novamente. Lembre-se: \boldsymbol{\Theta} é antiunitário, então ao puxar para fora um escalar c devemos tomar o conjugado c^{*}. Aqui c=(-1)^{\,j-m} é real (igual a +1 ou -1), portanto c^{*}=c. Assim
\boldsymbol{\Theta}^{2}\,|j,m\rangle = \boldsymbol{\Theta}\big((-1)^{\,j-m}\,|j,-m\rangle\big) = (-1)^{\,j-m}\,\boldsymbol{\Theta}\,|j,-m\rangle.
  • Usando novamente a fórmula para \boldsymbol{\Theta} em |j,-m\rangle,
\boldsymbol{\Theta}\,|j,-m\rangle = (-1)^{\,j-(-m)}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,j+m}\,|j,m\rangle.
  • Portanto
\boldsymbol{\Theta}^{2}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,j-m}\,(-1)^{\,j+m}\,|j,m\rangle = (-1)^{\,2j}\,|j,m\rangle.

Passo 7

Interpretação e conclusão final sobre inteiros e semi-inteiros.
  • Para j inteiro: 2j é par, logo (-1)^{2j}=+1. Assim
\boldsymbol{\Theta}^{2}\,|j_{\text{inteiro}}\rangle = +1\,|j_{\text{inteiro}}\rangle.
  • Para j semi-inteiro (meio-ímpar): 2j é ímpar, logo (-1)^{2j}=-1. Assim
\boldsymbol{\Theta}^{2}\,|j_{\text{semi-inteiro}}\rangle = -1\,|j_{\text{semi-inteiro}}\rangle.
  • Portanto, de modo geral, os autovalores de \boldsymbol{\Theta}^{2} na representação de momento angular j são (-1)^{2j}.

Resposta

\boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text{semi-inteiro}}\right\rangle = -1\left|j_{\text{semi-inteiro}}\right\rangle
\boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text{inteiro}}\right\rangle = +1\left|j_{\text{inteiro}}\right\rangle
Os autovalores de \boldsymbol{\Theta}^{2} são (-1)^{2j}.

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