Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo e pede para mostrar existência de raiz dentro desse intervalo. Informações explícitas:
- A função é
. - O intervalo é
.
O que se pede: provar que existe pelo menos um pontoem tal que .
Passo 2
Vamos verificar que
é contínua no intervalo dado. Explicando devagar:
- A função
é contínua para todo . - A função
é contínua (é uma função linear). - Composição de funções contínuas é contínua, então
é contínua. - Multiplicação por
e soma com preservam continuidade.
Portantoé contínua em todo , em particular é contínua em .
Passo 3
Calcular
no extremo esquerdo
.
Aqui
, logo
e portanto
Numericamente,
.
Passo 4
Calcular
no extremo direito
.
Para mostrar que isto é negativo, note que
e
Como
e o quadrado é maior que
, segue
. Portanto
Numericamente,
.
Passo 5
Agora temos sinais opostos nos extremos do intervalo:
Como
é contínua em
, o Teorema do Valor Intermediário (que diz: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos, então ela zera em algum ponto entre eles) garante que existe pelo menos um
tal que
.
Passo 6
Comentário final e incentivo: portanto provamos a existência de pelo menos uma raiz no intervalo usando um argumento curto e robusto (continuidade + mudança de sinal). Na prova de concurso ou prova de faculdade, essa é a solução padrão e rápida — calma, é um truque que salva tempo!
Resposta
Existe
tal que
.