Mostre que a função f(x)=1+x \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) tem pelo menos uma raiz no intervalo 1 / 2,3 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo e pede para mostrar existência de raiz dentro desse intervalo. Informações explícitas:
  • A função é f(x)=1+x\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right).
  • O intervalo é \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right].
    O que se pede: provar que existe pelo menos um ponto c em \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right] tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Vamos verificar que f é contínua no intervalo dado. Explicando devagar:
  • A função \cos(t) é contínua para todo t.
  • A função t\mapsto \frac{\pi t}{2} é contínua (é uma função linear).
  • Composição de funções contínuas é contínua, então x\mapsto \cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) é contínua.
  • Multiplicação por x e soma com 1 preservam continuidade.
    Portanto f(x)=1+x\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) é contínua em todo \mathbb{R}, em particular é contínua em \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right].

Passo 3

Calcular f no extremo esquerdo \displaystyle x=\tfrac{1}{2}.
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =1+\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =1+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =1+\frac{\sqrt{2}}{4}.
Aqui \sqrt{2}>0, logo \dfrac{\sqrt{2}}{4}>0 e portanto
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{4}>0.
Numericamente, f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 1,3536>0.

Passo 4

Calcular f no extremo direito \displaystyle x=\tfrac{3}{2}.
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) =1+\tfrac{3}{2}\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) =1+\tfrac{3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =1-\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Para mostrar que isto é negativo, note que \dfrac{3\sqrt{2}}{4}>0 e
\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2=\frac{9\cdot 2}{16}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}>1.
Como \dfrac{3\sqrt{2}}{4}>0 e o quadrado é maior que 1, segue \dfrac{3\sqrt{2}}{4}>1. Portanto
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=1-\frac{3\sqrt{2}}{4}<0.
Numericamente, f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx -0,0607<0.

Passo 5

Agora temos sinais opostos nos extremos do intervalo:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)>0\qquad\text{e}\qquad f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)<0.
Como f é contínua em \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right], o Teorema do Valor Intermediário (que diz: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos, então ela zera em algum ponto entre eles) garante que existe pelo menos um c\in\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 6

Comentário final e incentivo: portanto provamos a existência de pelo menos uma raiz no intervalo usando um argumento curto e robusto (continuidade + mudança de sinal). Na prova de concurso ou prova de faculdade, essa é a solução padrão e rápida — calma, é um truque que salva tempo!

Resposta

Existe c\in\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right] tal que f\text{(c)}=0.

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