Mostre que \mathbf{u} \times \mathbf{v}=-(\mathbf{v} \times \mathbf{u}) (anticomutatividade) e que \mathbf{u} \times \mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer vetor \mathbf{u}. Verifique numericamente com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
16. Prove a identidade de Lagrange:
\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle^{2} .
Utilize-a para concluir que |\sin \theta|=\frac{\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Mostrar que \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}) (anticomutatividade) para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v} e que \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer vetor \mathbf{u}.
  • Verificar numericamente essas propriedades com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
  • Provar a identidade de Lagrange \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2},e usar essa identidade para concluir que |\sin\theta|=\dfrac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Informações dadas que vou usar:
  • Vetores gerais \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
  • Vetores específicos para verificação: \mathbf{u}=(1,-2,3), \mathbf{v}=(4,0,-1).

Passo 2

Definição e fórmula componente a componente do produto vetorial.
A definição prática que vou usar é a fórmula por componentes: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Expliquei cada variável: u_i é a i-ésima componente de \mathbf{u} e v_i a i-ésima componente de \mathbf{v}. Cada componente do produto cruzado é uma diferença de produtos das componentes dos vetores, conforme a fórmula acima.
Também é útil lembrar (sem prova longa aqui) que essa fórmula pode ser vista como o determinante
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\[2pt] u_1 & u_2 & u_3\\[2pt] v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},
onde \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 são os vetores da base canônica. Desta forma, trocar as duas linhas que contêm \mathbf{u} e \mathbf{v} troca o sinal do determinante — esse fato será usado para justificar a anticomutatividade.]

Passo 3

Prova da anticomutatividade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
Metodo 1 (pela propriedade do determinante): pela expressão determinantal, trocar as linhas de \mathbf{u} e \mathbf{v} altera o sinal do determinante. Ou seja, se a expressão para \mathbf{u}\times\mathbf{v} é dada pelo determinante acima, então
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\[2pt] v_1 & v_2 & v_3\\[2pt] u_1 & u_2 & u_3\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\[2pt] u_1 & u_2 & u_3\\[2pt] v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}=-\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr).
Metodo 2 (pela fórmula de componentes): escrevendo as componentes,
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr),
e trocando u com v,
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=\bigl(v_2u_3-v_3u_2,\;v_3u_1-v_1u_3,\;v_1u_2-v_2u_1\bigr).
Cada componente de \mathbf{v}\times\mathbf{u} é o negativo do correspondente de \mathbf{u}\times\mathbf{v} porque v_2u_3-v_3u_2=-(u_2v_3-u_3v_2), etc. Logo \mathbf{v}\times\mathbf{u}=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v}), e rearranjando obtemos \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).]

Passo 4

Prova de \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer \mathbf{u}.
Pelo determinante: se as duas linhas do determinante são iguais (linha de \mathbf{u} repetida), o determinante vale zero, logo \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Pela fórmula de componentes: substituindo v_i=u_i,
\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\bigl(u_2u_3-u_3u_2,\;u_3u_1-u_1u_3,\;u_1u_2-u_2u_1\bigr)=(0,0,0).
Então sempre \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Observação intuitiva: o produto vetorial é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}; se \mathbf{u}=\mathbf{v} não existe vetor não-nulo perpendicular simultaneamente a ambos na mesma direção, então o resultado deve ser o vetor nulo.

Passo 5

Verificação numérica das propriedades com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
Calculemos \mathbf{u}\times\mathbf{v} pela fórmula de componentes:
\begin{aligned} (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_1 &= u_2v_3-u_3v_2 = (-2)(-1)-3\cdot 0 = 2,\\[2pt] (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_2 &= u_3v_1-u_1v_3 = 3\cdot 4 - 1\cdot(-1) = 12+1 = 13,\\[2pt] (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_3 &= u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot 0 - (-2)\cdot 4 = 0+8 = 8. \end{aligned}
Portanto \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(2,13,8).
Agora \mathbf{v}\times\mathbf{u}; pelo item anterior deve ser o negativo:
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=(-2,-13,-8) = -\bigl(2,13,8\bigr) = -(\mathbf{u}\times\mathbf{v}).
E \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} (pela prova geral), e verificando rápido pelas componentes dá (0,0,0).
Assim a verificação numérica confirma a anticomutatividade e o caso diagonal nulo.]

Passo 6

Prova da identidade de Lagrange por expansão das componentes.
Começamos com a expressão componente a componente do produto vetorial e somamos os quadrados das componentes:
\begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} &=(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2. \end{aligned}
Vou expandir cada termo e agrupar de modo a aparecerem \|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2} e \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2}.
Expandindo:
\begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} ={}& u_2^{2}v_3^{2}-2u_2u_3v_2v_3+u_3^{2}v_2^{2}\\\ &{}+u_3^{2}v_1^{2}-2u_3u_1v_1v_3+u_1^{2}v_3^{2}\\\ &{}+u_1^{2}v_2^{2}-2u_1u_2v_1v_2+u_2^{2}v_1^{2}. \end{aligned}
Agora agrupo os termos quadráticos em u_i^{2} e v_j^{2}. Coleto os termos com u_1^{2}:
u_1^{2}v_2^{2}+u_1^{2}v_3^{2}=u_1^{2}(v_2^{2}+v_3^{2}).
De modo análogo para u_2^{2} e u_3^{2}, somando tudo:
u_1^{2}(v_2^{2}+v_3^{2})+u_2^{2}(v_3^{2}+v_1^{2})+u_3^{2}(v_1^{2}+v_2^{2}).
Note que isso é igual a
(u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{2})(v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}) - \bigl(u_1^{2}v_1^{2}+u_2^{2}v_2^{2}+u_3^{2}v_3^{2}\bigr).
Agora os termos mistos (os termos com produto de duas componentes diferentes de \mathbf{u} e duas de \mathbf{v}) são
-2\bigl(u_1u_2v_1v_2+u_1u_3v_1v_3+u_2u_3v_2v_3\bigr).
Somando esse termo misto com o termo subtraído acima \bigl(u_1^{2}v_1^{2}+u_2^{2}v_2^{2}+u_3^{2}v_3^{2}\bigr) obtemos exatamente
-\bigl(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\bigr)^{2} = -\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2}.
Juntando tudo:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} =\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2},
que é a identidade de Lagrange desejada.
(Se quiser uma demonstração mais compacta usando notação de índices: usa-se (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i=\varepsilon_{ijk}u_jv_k e a identidade \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}, o que leva ao mesmo resultado.)

Passo 7

Derivando a fórmula com \sin\theta.
Pela definição do produto interno em termos do ângulo,
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Substituindo isso na identidade de Lagrange,
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} =\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\bigl(\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta\bigr)^{2} =\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}(1-\cos^{2}\theta).
Como 1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta, obtemos
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}\sin^{2}\theta.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (normas são não-negativas),
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,|\sin\theta|.
Rearranjando,
|\sin\theta|=\frac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
que é a fórmula requerida. Observação: só aparece o valor absoluto de \sin\theta porque \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é não-negativa; o sinal de \sin\theta depende da orientação (ordem de \mathbf{u},\mathbf{v}).

Passo 8

Verificação numérica da identidade de Lagrange com os vetores fornecidos.
Cálculos já parcialmente feitos:
\mathbf{u}=(1,-2,3),\qquad \mathbf{v}=(4,0,-1).
Normas ao quadrado:
\|\mathbf{u}\|^{2}=1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}=1+4+9=14,
\|\mathbf{v}\|^{2}=4^{2}+0^{2}+(-1)^{2}=16+0+1=17.
Produto escalar:
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=1\cdot 4 + (-2)\cdot 0 + 3\cdot(-1)=4+0-3=1.
Produto das normas ao quadrado:
\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}=14\cdot 17=238.
Portanto o lado direito da Lagrange dá
\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2}=238-1^{2}=237.
Já calculamos \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(2,13,8), então
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=2^{2}+13^{2}+8^{2}=4+169+64=237.
Assim \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=237 coincide com a expressão da direita, confirmando numericamente a identidade.
Também a fórmula do seno:
|\sin\theta|=\frac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} =\frac{\sqrt{237}}{\sqrt{14}\sqrt{17}}=\sqrt{\frac{237}{238}}.
Isso também é consistente com \cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{238}}, porque \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=237/238.

Resposta

\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}),\quad \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Para \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1): \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(2,13,8),\\ \mathbf{v}\times\mathbf{u}=(-2,-13,-8),\\ \mathbf{u}\times\mathbf{u}=(0,0,0).
Identidade de Lagrange:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2}.
Com os vetores dados: \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=237=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2}.
Fórmula do seno:
|\sin\theta|=\frac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.

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