Mostre que \mathbf{u} \times \mathbf{v}=-(\mathbf{v} \times \mathbf{u}) (anticomutatividade) e que \mathbf{u} \times \mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer vetor \mathbf{u}. Verifique numericamente com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
16. Prove a identidade de Lagrange:
Utilize-a para concluir que |\sin \theta|=\frac{\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Mostrar que \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}) (anticomutatividade) para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v} e que \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer vetor \mathbf{u}.
Verificar numericamente essas propriedades com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
Provar a identidade de Lagrange\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^{2},e usar essa identidade para concluir que |\sin\theta|=\dfrac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Informações dadas que vou usar:
Vetores gerais \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
Vetores específicos para verificação: \mathbf{u}=(1,-2,3), \mathbf{v}=(4,0,-1).
Passo 2
Definição e fórmula componente a componente do produto vetorial.
A definição prática que vou usar é a fórmula por componentes: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
Expliquei cada variável: u_i é a i-ésima componente de \mathbf{u} e v_i a i-ésima componente de \mathbf{v}. Cada componente do produto cruzado é uma diferença de produtos das componentes dos vetores, conforme a fórmula acima.
Também é útil lembrar (sem prova longa aqui) que essa fórmula pode ser vista como o determinante
onde \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 são os vetores da base canônica. Desta forma, trocar as duas linhas que contêm \mathbf{u} e \mathbf{v} troca o sinal do determinante — esse fato será usado para justificar a anticomutatividade.]
Passo 3
Prova da anticomutatividade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
Metodo 1 (pela propriedade do determinante): pela expressão determinantal, trocar as linhas de \mathbf{u} e \mathbf{v} altera o sinal do determinante. Ou seja, se a expressão para \mathbf{u}\times\mathbf{v} é dada pelo determinante acima, então
Cada componente de \mathbf{v}\times\mathbf{u} é o negativo do correspondente de \mathbf{u}\times\mathbf{v} porque v_2u_3-v_3u_2=-(u_2v_3-u_3v_2), etc. Logo \mathbf{v}\times\mathbf{u}=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v}), e rearranjando obtemos \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).]
Passo 4
Prova de \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer \mathbf{u}.
Pelo determinante: se as duas linhas do determinante são iguais (linha de \mathbf{u} repetida), o determinante vale zero, logo \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Pela fórmula de componentes: substituindo v_i=u_i,
Então sempre \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Observação intuitiva: o produto vetorial é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}; se \mathbf{u}=\mathbf{v} não existe vetor não-nulo perpendicular simultaneamente a ambos na mesma direção, então o resultado deve ser o vetor nulo.
Passo 5
Verificação numérica das propriedades com \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1).
Calculemos \mathbf{u}\times\mathbf{v} pela fórmula de componentes:
(Se quiser uma demonstração mais compacta usando notação de índices: usa-se (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i=\varepsilon_{ijk}u_jv_k e a identidade \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}, o que leva ao mesmo resultado.)
Passo 7
Derivando a fórmula com \sin\theta.
Pela definição do produto interno em termos do ângulo,
que é a fórmula requerida. Observação: só aparece o valor absoluto de \sin\theta porque \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é não-negativa; o sinal de \sin\theta depende da orientação (ordem de \mathbf{u},\mathbf{v}).
Passo 8
Verificação numérica da identidade de Lagrange com os vetores fornecidos.
Isso também é consistente com \cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{238}}, porque \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=237/238.
Para \mathbf{u}=(1,-2,3) e \mathbf{v}=(4,0,-1): \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(2,13,8),\\ \mathbf{v}\times\mathbf{u}=(-2,-13,-8),\\ \mathbf{u}\times\mathbf{u}=(0,0,0).