Mostre que a pressão atmosférica em função da altura y (em relação ao nível do mar) pode ser representada por p(y)= p_{0} \exp \left(-\rho_{0} g y / p_{0}\right) em que p_{0} é a pressão e \rho_{0} representam a pressão e a densidade ao nível do mar, respectivamente. Trace o gráfico da pressão em função da altura e determine a altura quando a pressão é p_{0} / 3. Demonstre em quais situações esta equação, que é conhecida como lei de Halley, pode ser utilizada.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras:
Mostrar que a pressão atmosférica em função da altura y pode ser escrita como \displaystyle p(y)=p_{0}\exp\!\left(-\dfrac{\rho_{0} g y}{p_{0}}\right), onde p_{0} e \rho_{0} são a pressão e a densidade ao nível do mar.
Traçar (descrever) o gráfico de p em função de y.
Determinar a altura y para a qual p(y)=p_{0}/3.
Explicar em quais situações a equação (lei de Halley) é aplicável.
Informações dadas que vamos usar:
p_0 = pressão ao nível do mar (valor de referência em y=0).
\rho_0 = densidade do ar ao nível do mar (valor de referência em y=0).
g = aceleração da gravidade (assumida constante).
y = altura em relação ao nível do mar, com y=0 no nível do mar.
Passo 2
Começamos pelo equilíbrio hidrostático: considere uma lâmina de ar de área A e espessura dy localizada na altura y. O balanço de forças verticais sobre essa lâmina, na condição de repouso, é:
força para cima na face inferior: p(y)A,
força para baixo na face superior: p(y+dy)A,
peso da lâmina para baixo: \rho(y) A\,dy\; g,
da equação de equilíbrio segue
p(y)A - p(y+dy)A - \rho(y)A\,dy\; g = 0.
Dividindo por A e passando para o limite dy\to0 obtemos a forma diferencial do equilíbrio hidrostático:
\frac{dp}{dy} = -\rho(y)\,g.
Aqui \rho(y) é a densidade do ar na altura y; cada termo foi explicitado: p é pressão, \rho densidade, g gravidade.
Passo 3
Precisamos relacionar \rho(y) com p(y). Usamos a equação dos gases ideais para ar (na forma com constante específica):
p = \rho R T,
onde:
R é a constante específica do ar (por unidade de massa), por exemplo R\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} para ar seco,
T é a temperatura absoluta do ar (em kelvin).
Reescrevendo,
\rho(y)=\frac{p(y)}{R\,T(y)}.
Agora precisamos de uma hipótese sobre T(y). A lei que queremos obter assume temperatura constante com a altura (atmosfera isotérmica) — ou seja T(y)=T= const. Assim
\rho(y)=\frac{p(y)}{R T}.
Passo 4
Substituindo \rho(y)=\dfrac{p(y)}{R T} na equação do equilíbrio hidrostático \dfrac{dp}{dy}=-\rho(y)g obtemos:
\frac{dp}{dy} = -\frac{p(y)}{R T}\,g.
Isto é uma equação diferencial separável. Separamos as variáveis:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R T}\,dy.
Integramos dos valores de referência y=0 (onde p=p_0) até uma altura arbitrária y (onde p=p(y)):
que é exatamente a forma pedida (lei de Halley). Aqui cada símbolo significa:
p(y): pressão à altura y,
p_0: pressão ao nível do mar (y=0),
\rho_0: densidade ao nível do mar (y=0),
g: aceleração da gravidade,
y: altura medida a partir do nível do mar.
Passo 6
É útil introduzir a altura característica (altura de escala) H definida por
\boxed{\,H=\frac{p_0}{\rho_0 g}=\frac{R T}{g}\,}
com a qual a lei fica mais compacta:
p(y)=p_0\exp\!\left(-\frac{y}{H}\right).
Interpretação física: H é a altura na qual a pressão cai por um fator e (aprox. 2{,}718). A derivada inicial da pressão é
\left.\frac{dp}{dy}\right|_{y=0} = -\rho_0 g,
o que faz sentido físico: de modo imediato a variação da pressão com a altura é dada pelo peso da coluna de ar per unit area.
Passo 7
Desenho/descrição do gráfico p(y) versus y:
Curva exponencial decrescente a partir de p(0)=p_0.
Assimptota horizontal em p=0 quando y\to\infty (a pressão tende a zero, nunca fica negativa).
Declive negativo maior perto de y=0 e se torna mais suave para y grandes (decadência exponencial).
Escala horizontal natural é H: em y=H a pressão caiu para p_0/e.
Visualmente: começa em p_0 e decai rápido nas primeiras alturas comparáveis a H, depois mais lentamente.
Passo 8
Determinar a altura y tal que p(y)=p_0/3. Começamos da expressão
\frac{p_0}{3} = p_0\exp\!\left(-\frac{\rho_0 g y}{p_0}\right).
Cancelando p_0 e isolando y:
\frac{1}{3} = \exp\!\left(-\frac{\rho_0 g y}{p_0}\right) \quad\Longrightarrow\quad \ln 3 = \frac{\rho_0 g y}{p_0}.
Se quisermos um número de referência, usando valores típicos ao nível do mar p_0\approx 101325\\ \mathrm{Pa}, \rho_0\approx 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} e g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, obtemos H\approx 8{,}4\\ \mathrm{km} e então
Discussão: em quais situações a lei de Halley é válida?
Hipótese principal: temperatura T constante com a altura (atmosfera isotérmica). Sem essa hipótese a dependência p(y) não é uma simples exponencial; para T(y) variável obtém-se a forma geral p(y)=p_0\exp\!\big(-\int_0^y \frac{g\,\rho(y')}{p(y')}dy'\big) ou, usando gás ideal, p(y)=p_0\exp\!\left(-\int_0^y \frac{g}{R T(y')}dy'\right).
Gás ideal: o ar deve ser tratado pela equação dos gases ideais p=\rho R T. Em altitudes muito altas (onde efeitos de não-idealidade ou variação de composição se tornam importantes) essa aproximação perde precisão.
g constante: assumiu-se g praticamente constante com y. Para alturas muito grandes (ordem da Terra → centenas de km) deve-se corrigir a variação de g com a altitude.
Atmosfera em equilíbrio estático: não há correntes fortes, convecção intensa ou outros efeitos dinâmicos que invalidem o equilíbrio hidrostático local.
Composição constante e ar seco: umidade significativa ou variação de composição com altitude pode alterar a relação entre p e \rho efetiva.
Em resumo: a lei de Halley é um bom modelo para um ar ideal, seco, isotérmico e em equilíbrio hidrostático, e para alturas não tão grandes (ordem de algumas dezenas de km no máximo, melhor ainda nas primeiras camadas da atmosfera). Para aplicações reais mais precisas usa-se a fórmula barométrica com T(y) variável e/ou a integração numérica com g(y) e composição variáveis.
Resposta
p(y)=p_{0}\exp\!\left(-\dfrac{\rho_{0} g y}{p_{0}}\right).
O gráfico é uma decaída exponencial p(y)=p_0\exp(-y/H) com H=\dfrac{p_0}{\rho_0 g}; p(0)=p_0, assimptota p\to0 quando y\to\infty e inclinação inicial \left.\dfrac{dp}{dy}\right|_{0}=-\rho_0 g.
Altura para p(y)=p_0/3: \displaystyle y=\frac{p_0}{\rho_0 g}\ln 3 = H\ln 3 (aprox. 9{,}2\\ \mathrm{km} usando valores padrão ao nível do mar).
Aplicabilidade: válida para atmosfera isotérmica, gás ideal, g aproximadamente constante e equilíbrio hidrostático (isto é, em camadas não muito altas e sem grandes variações de temperatura, composição ou dinâmica).