Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
1,0
1
1,5
2
1,5
3
2,5
4
3,0
5
Determine o seguinte:
a.
|
|
|
|
| 1,0 | 1 |
|
| 1,5 | 2 |
|
| 1,5 | 3 |
|
| 2,5 | 4 |
|
| 3,0 | 5 |
|
a.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com valores da função conjunta
. Vou listar claramente os pares
e suas probabilidades (peguei estes valores da tabela do enunciado):
-
com . -
com . -
com . -
com . -
com .
O enunciado pede duas coisas implicadas:
- Mostrar que essa função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta (ou seja, não-negatividade e soma das probabilidades igual a 1).
- Calcular
.
Passo 2
Relembrando a teoria de forma simples e prática (feito como uma aula curtinha): para uma função
ser uma função de probabilidade conjunta discreta é necessário:
- (i) Não-negatividade: para todo par
vale . - (ii) Soma total igual a 1:
.
Vou checar cada condição com os números dados.
Passo 3
Verificação da não-negatividade: todos os valores da tabela são positivos:
. Logo, para cada par
temos
. Portanto a condição (i) está satisfeita.
Passo 4
Verificação da soma das probabilidades: somar todas as probabilidades da tabela. Vou escrever a soma em forma matemática e fazer a conta passo a passo:
Para somar, é conveniente usar denominador comum
:
Somando os numeradores:
logo a soma é
. Assim a condição (ii) também está satisfeita.
Conclusão parcial: a função dada é uma função de probabilidade conjunta válida porque todos os valores são não-negativos e a soma total é
.
Passo 5
Agora calcular
. Pela definição para variáveis discretas, a probabilidade de um evento conjunto é a soma de
sobre os pares que satisfazem as condições do evento. Em fórmula:
Passo 6
Identificar os pares da tabela que satisfazem
e
simultaneamente (pegando os valores da tabela):
-
: aqui e . Inclui-se com probabilidade . -
: aqui e . Inclui-se com probabilidade . -
: tem mas não é menor que , então NÃO incluir. - Os pares com
ou têm , logo não pertencem ao evento.
Portanto apenas os dois primeiros pares entram no somatório.
Passo 7
Somar as probabilidades dos pares selecionados:
Transformando
e somando:
Se quiser em forma decimal:
.