Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{X Y}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
1,0 1 1 / 4
1,5 2 1 / 8
1,5 3 1 / 4
2,5 4 1 / 4
3,0 5 1 / 8
Determine o seguinte:
a. P(X<2,5, Y<3)

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores da função conjunta f_{XY}(x,y). Vou listar claramente os pares (x,y) e suas probabilidades (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • (x,y)=(1,0,\,1) com f_{XY}(1,0,1)=\dfrac{1}{4}.
  • (x,y)=(1,5,\,2) com f_{XY}(1,5,2)=\dfrac{1}{8}.
  • (x,y)=(1,5,\,3) com f_{XY}(1,5,3)=\dfrac{1}{4}.
  • (x,y)=(2,5,\,4) com f_{XY}(2,5,4)=\dfrac{1}{4}.
  • (x,y)=(3,0,\,5) com f_{XY}(3,0,5)=\dfrac{1}{8}.
O enunciado pede duas coisas implicadas:
  1. Mostrar que essa função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta (ou seja, não-negatividade e soma das probabilidades igual a 1).
  2. Calcular P(X<2,5,\;Y<3).

Passo 2

Relembrando a teoria de forma simples e prática (feito como uma aula curtinha): para uma função f_{XY}(x,y) ser uma função de probabilidade conjunta discreta é necessário:
  • (i) Não-negatividade: para todo par (x,y) vale f_{XY}(x,y)\ge 0.
  • (ii) Soma total igual a 1: \displaystyle \sum_{x}\sum_{y} f_{XY}(x,y)=1.
Vou checar cada condição com os números dados.

Passo 3

Verificação da não-negatividade: todos os valores da tabela são positivos: \dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8}. Logo, para cada par (x,y) temos f_{XY}(x,y)\ge 0. Portanto a condição (i) está satisfeita.

Passo 4

Verificação da soma das probabilidades: somar todas as probabilidades da tabela. Vou escrever a soma em forma matemática e fazer a conta passo a passo:
\sum_{x}\sum_{y} f_{XY}(x,y) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}.
Para somar, é conveniente usar denominador comum 8:
\frac{1}{4}=\frac{2}{8}, \quad\text{então}\quad \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = \frac{2}{8}+\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}.ã
Somando os numeradores:
2+1+2+2+1 = 8,
logo a soma é \dfrac{8}{8}=1. Assim a condição (ii) também está satisfeita.
Conclusão parcial: a função dada é uma função de probabilidade conjunta válida porque todos os valores são não-negativos e a soma total é 1.

Passo 5

Agora calcular P(X<2,5,\;Y<3). Pela definição para variáveis discretas, a probabilidade de um evento conjunto é a soma de f_{XY}(x,y) sobre os pares que satisfazem as condições do evento. Em fórmula:
P(X<2,5,\;Y<3)=\sum_{\substack{x<2,5\y<3}} f_{XY}(x,y).

Passo 6

Identificar os pares da tabela que satisfazem X<2,5 e Y<3 simultaneamente (pegando os valores da tabela):
  • (1,0,\,1): aqui x=1,0<2,5 e y=1<3. Inclui-se com probabilidade \dfrac{1}{4}.
  • (1,5,\,2): aqui x=1,5<2,5 e y=2<3. Inclui-se com probabilidade \dfrac{1}{8}.
  • (1,5,\,3): tem x=1,5<2,5 mas y=3 não é menor que 3, então NÃO incluir.
  • Os pares com x=2,5 ou x=3,0 têm x\ge 2,5, logo não pertencem ao evento.
Portanto apenas os dois primeiros pares entram no somatório.

Passo 7

Somar as probabilidades dos pares selecionados:
P(X<2,5,\;Y<3)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.
Transformando \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8} e somando:
\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
Se quiser em forma decimal: \dfrac{3}{8}=0,375.

Resposta

P(X<2,5,\;Y<3)=\dfrac{3}{8}=0,375

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