Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{X Y}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
1,0 1 1 / 4
1,5 2 1 / 8
1,5 3 1 / 4
2,5 4 1 / 4
3,0 5 1 / 8
Determine o seguinte:
b. P(X<2,5)

Passo 1

O enunciado fornece uma função em forma de tabela. Peguei os dados diretamente da tabela do enunciado; são os seguintes pares (x,y) com suas probabilidades f_{X Y}(x,y):
  • (1,0,\,1) com f_{X Y}(1,0,1)=\dfrac{1}{4}.
  • (1,5,\,2) com f_{X Y}(1,5,2)=\dfrac{1}{8}.
  • (1,5,\,3) com f_{X Y}(1,5,3)=\dfrac{1}{4}.
  • (2,5,\,4) com f_{X Y}(2,5,4)=\dfrac{1}{4}.
  • (3,0,\,5) com f_{X Y}(3,0,5)=\dfrac{1}{8}.
A pergunta que preciso responder é:
  • b. Calcular P(X<2,5).

Passo 2

Primeiro, uma pequena revisão do que significa calcular P(X<2,5) com uma função conjunta discreta: quando X e Y são variáveis discretas com função conjunta f_{X Y}(x,y), a probabilidade de um evento que impõe uma condição sobre X (por exemplo X\in A) é encontrada somando-se as probabilidades conjuntas sobre todos os pares (x,y) cujos valores de x satisfazem a condição. Em fórmula:
P(X\in A)=\sum_{\substack{x\in A\y\\ \text{possíveis}}} f_{X Y}(x,y).
Aqui a condição é X<2,5, então vamos somar f_{X Y}(x,y) para todos os pares na tabela cujo x seja menor que 2,5.

Passo 3

Identificar quais valores de x na tabela satisfazem x<2,5. Olhando os x que peguei da tabela:
  • \,1,0 < 2,5.
  • \,1,5 < 2,5.
  • \,2,5 NÃO satisfaz porque a desigualdade é estrita <2,5.
  • \,3,0 também não satisfaz.
Portanto, os pares da tabela que contribuem para P(X<2,5) são:
(1,0,\,1), (1,5,\,2) e (1,5,\,3), com probabilidades \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8} e \dfrac{1}{4}, respectivamente (peguei esses valores da tabela).

Passo 4

Somar as probabilidades desses pares. Vamos somar em frações com denominador comum 8 para ficar claro:
P(X<2,5)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}.
Converter \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}, então
P(X<2,5)=\frac{2}{8}+\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}.

Passo 5

Expressar também em decimal (opcional, para intuição): \dfrac{5}{8}=0,625.

Resposta

P(X<2,5)=\dfrac{5}{8}=0,625

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