Um motociclista situado em A está viajando a 60 pés/s quando decide ultrapassar o caminhão T que trafega com velocidade constante de 60 pés/s. Para fazer a ultrapassagem, o motorista acelera a 6 pés / \mathrm{s}^{2} até atingir uma velocidade máxima de 85 pés / \mathrm{s}. Supondo que ele mantenha essa velocidade, determine o tempo necessário para ele alcançar um ponto localizado 100 pés à frente do caminhão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Velocidade inicial do motociclista: v_{0M}=60\\ \mathrm{ft/s}.
  • Velocidade do caminhão (constante): v_T=60\\ \mathrm{ft/s}.
  • Aceleração do motociclista durante a manobra: a=6\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Velocidade máxima que o motociclista atinge e passa a manter: v_{\max}=85\\ \mathrm{ft/s}.
  • Objetivo: determinar o tempo necessário, a partir do instante em que o motociclista começa a acelerar, para que ele alcance um ponto que está 100\\ \mathrm{ft} à frente do caminhão.
Observação implícita (necessária para resolver): o enunciado fornece posições relativas apenas em termos de “à frente do caminhão”; vamos tomar como referência o instante t=0 em que o motociclista começa a acelerar e medir a distância que ele precisa ganhar em relação ao caminhão: essa distância final desejada é 100\\ \mathrm{ft} à frente do caminhão.

Passo 2

Primeiro encontramos o tempo que o motociclista leva para acelerar de 60\\ \mathrm{ft/s} até 85\\ \mathrm{ft/s}.
A fórmula básica do movimento com aceleração constante que relaciona velocidade, tempo e aceleração é
v = v_0 + a t,
onde:
  • v é a velocidade final,
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (positiva se aumenta a velocidade),
  • t é o tempo decorrido.
Aplicando para v=v_{\max}, v_0=v_{0M} e a:
t_1=\frac{v_{\max}-v_{0M}}{a}.
Substituindo os números:
t_1=\frac{85-60}{6}=\frac{25}{6}\\ \mathrm{s}.
Explicação rápida: essa fórmula vem de isolar t em v=v_0+at. É a forma direta para saber quanto tempo uma aceleração constante leva para produzir uma dada variação de velocidade.

Passo 3

Agora calculamos a distância que o motociclista percorre durante essa fase de aceleração e a distância que o caminhão percorre no mesmo intervalo; a diferença é quanto o motociclista já ganhou de frente em relação ao caminhão ao final da aceleração.
A fórmula para a posição (distância) no movimento com aceleração constante, partindo de velocidade inicial v_0, é
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde s é o deslocamento no intervalo de tempo t.
Para o motociclista, com v_0=60, a=6 e t=t_1:
s_M = 60\,t_1 + \tfrac{1}{2}\cdot 6\,t_1^2 = 60\,t_1 + 3\,t_1^2.
Para o caminhão, que tem velocidade constante 60\\ \mathrm{ft/s}, o deslocamento em t_1 é
s_T = 60\,t_1.
A vantagem (distância à frente do caminhão) adquirida ao fim da aceleração é
\Delta s_1 = s_M - s_T = \bigl(60\,t_1 + 3\,t_1^2\bigr) - 60\,t_1 = 3\,t_1^2.
Substituindo t_1=\dfrac{25}{6}:
\Delta s_1 = 3\left(\frac{25}{6}\right)^2 = 3\cdot\frac{625}{36}=\frac{1875}{36}=\frac{625}{12}\\ \mathrm{ft}.
Em valor decimal isso é \Delta s_1\approx 52,0833\\ \mathrm{ft}.
Comentário didático: subtrair os deslocamentos do motociclista e do caminhão é equivalente a trabalhar no referencial do caminhão (ou seja, considerar a posição relativa). Isso costuma simplificar muito problemas de ultrapassagem.

Passo 4

Verificamos quanto falta para alcançar os 100\\ \mathrm{ft} desejados.
A distância restante após a fase de aceleração é
\Delta s_{\text{rest}} = 100 - \Delta s_1 = 100 - \frac{625}{12} = \frac{1200-625}{12}=\frac{575}{12}\\ \mathrm{ft}.
Em decimal: \Delta s_{\text{rest}}\approx 47,9167\\ \mathrm{ft}.
Se \Delta s_1 já fosse maior ou igual a 100\\ \mathrm{ft} a resposta seria apenas t_1; como não é, ainda resta ganhar \Delta s_{\text{rest}}.

Passo 5

Depois da aceleração o motociclista mantém velocidade constante v_{\max}=85\\ \mathrm{ft/s} enquanto o caminhão continua a 60\\ \mathrm{ft/s}. A velocidade relativa (ou seja, a que reduz a distância entre motociclista e ponto 100 ft à frente do caminhão) é
v_{\text{rel}} = v_{\max}-v_T = 85-60=25\\ \mathrm{ft/s}.
O tempo necessário para percorrer a distância restante com essa velocidade relativa é
t_2=\frac{\Delta s_{\text{rest}}}{v_{\text{rel}}}=\frac{\tfrac{575}{12}}{25}=\frac{575}{300}=\frac{23}{12}\\ \mathrm{s}.
Em decimal: t_2\approx 1,9167\\ \mathrm{s}.
Didática curta: quando dois objetos se movem em mesma direção, a taxa com que a distância entre eles muda é a diferença entre suas velocidades; por isso dividimos a distância que falta pela velocidade relativa.

Passo 6

Tempo total desde o início da aceleração até alcançar o ponto 100\\ \mathrm{ft} à frente do caminhão é
t_{\text{total}}=t_1+t_2=\frac{25}{6}+\frac{23}{12}=\frac{50+23}{12}=\frac{73}{12}\\ \mathrm{s}.
Em decimal isso é aproximadamente 6,0833\\ \mathrm{s}.
Pequeno incentivo: pronto! Em menos de sete segundos o motociclista já ficou 100\\ \mathrm{ft} à frente — rápido, né? Agora fica mais fácil lembrar: quebra o problema em fases (aceleração + cruzeiro) e use referencial relativo.

Resposta

\dfrac{73}{12}\\ \mathrm{s}\approx6{,}0833\\ \mathrm{s}

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