Um motociclista situado em
está viajando a 60 pés/s quando decide ultrapassar o caminhão
que trafega com velocidade constante de 60 pés/s. Para fazer a ultrapassagem, o motorista acelera a 6 pés
até atingir uma velocidade máxima de 85 pés
. Supondo que ele mantenha essa velocidade, determine o tempo necessário para ele alcançar um ponto localizado 100 pés à frente do caminhão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Velocidade inicial do motociclista:
. - Velocidade do caminhão (constante):
. - Aceleração do motociclista durante a manobra:
. - Velocidade máxima que o motociclista atinge e passa a manter:
. - Objetivo: determinar o tempo necessário, a partir do instante em que o motociclista começa a acelerar, para que ele alcance um ponto que está
à frente do caminhão.
Observação implícita (necessária para resolver): o enunciado fornece posições relativas apenas em termos de “à frente do caminhão”; vamos tomar como referência o instante
em que o motociclista começa a acelerar e medir a distância que ele precisa ganhar em relação ao caminhão: essa distância final desejada é
à frente do caminhão.
Passo 2
Primeiro encontramos o tempo que o motociclista leva para acelerar de
até
.
A fórmula básica do movimento com aceleração constante que relaciona velocidade, tempo e aceleração é
onde:
-
é a velocidade final, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração (positiva se aumenta a velocidade), -
é o tempo decorrido.
Aplicando para
,
e
:
Substituindo os números:
Explicação rápida: essa fórmula vem de isolar
em
. É a forma direta para saber quanto tempo uma aceleração constante leva para produzir uma dada variação de velocidade.
Passo 3
Agora calculamos a distância que o motociclista percorre durante essa fase de aceleração e a distância que o caminhão percorre no mesmo intervalo; a diferença é quanto o motociclista já ganhou de frente em relação ao caminhão ao final da aceleração.
A fórmula para a posição (distância) no movimento com aceleração constante, partindo de velocidade inicial
, é
onde
é o deslocamento no intervalo de tempo
.
Para o motociclista, com
,
e
:
Para o caminhão, que tem velocidade constante
, o deslocamento em
é
A vantagem (distância à frente do caminhão) adquirida ao fim da aceleração é
Substituindo
:
Em valor decimal isso é
.
Comentário didático: subtrair os deslocamentos do motociclista e do caminhão é equivalente a trabalhar no referencial do caminhão (ou seja, considerar a posição relativa). Isso costuma simplificar muito problemas de ultrapassagem.
Passo 4
Verificamos quanto falta para alcançar os
desejados.
A distância restante após a fase de aceleração é
Em decimal:
.
Se
já fosse maior ou igual a
a resposta seria apenas
; como não é, ainda resta ganhar
.
Passo 5
Depois da aceleração o motociclista mantém velocidade constante
enquanto o caminhão continua a
. A velocidade relativa (ou seja, a que reduz a distância entre motociclista e ponto 100 ft à frente do caminhão) é
O tempo necessário para percorrer a distância restante com essa velocidade relativa é
Em decimal:
.
Didática curta: quando dois objetos se movem em mesma direção, a taxa com que a distância entre eles muda é a diferença entre suas velocidades; por isso dividimos a distância que falta pela velocidade relativa.
Passo 6
Tempo total desde o início da aceleração até alcançar o ponto
à frente do caminhão é
Em decimal isso é aproximadamente
.
Pequeno incentivo: pronto! Em menos de sete segundos o motociclista já ficou
à frente — rápido, né? Agora fica mais fácil lembrar: quebra o problema em fases (aceleração + cruzeiro) e use referencial relativo.