Muitas cidades dispõem de sirenes para tornados, grandes sirenes elevadas que soam para alertar os cidadãos da iminência de tornados de um tornado. Em uma pequena cidade, uma sirene foi posicionada a
de altura do solo. Um carro está trafegando
, afastando-se da sirene enquanto ela emite um som de 440 Hz . Qual é a frequência do som ouvido pelo motorista em função da distância em relação à sirene emissora? Faça o gráfico dessa frequência em função da posição do carro até
. Obs:
é a distância do carro ao poste.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informações dadas:
- A sirene está a
de altura do solo. Vou chamar essa altura de , então . - A sirene emite uma frequência
. - O carro se afasta da sirene com velocidade
. Vou chamar essa velocidade de . - A variável
é a distância do carro ao poste (distância horizontal ao pé do poste) e queremos a frequência ouvida pelo motorista em função de . - Quer-se o gráfico de
para .
- A sirene está a
- Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é a frequência do som ouvido pelo motorista em função da distância
em relação à sirene emissora? - Fazer o gráfico dessa frequência em função da posição do carro até
.
- Qual é a frequência do som ouvido pelo motorista em função da distância
Passo 2
Converter velocidades e definir notação (sempre importante antes de calcular):
- Converter
de para . A conversão é dividir por . Assim
- Vou usar
para a velocidade do som. O enunciado não deu a velocidade do som, então adotamos o valor usual em ar a :
(Se a temperatura for diferente, troca-se
pelo valor correto; a fórmula abaixo continua válida.)
Passo 3
Entender a geometria (por que a altura importa):
- O emissor está no ponto
com . O carro está no solo no ponto . - A distância direta (linha de visão) entre a sirene e o motorista é a hipotenusa
- O motorista está se movendo na direção horizontal positiva (para maior
). O efeito Doppler depende da componente da velocidade do ouvinte na direção radial (na direção da linha que liga emissor e ouvinte). A componente radial da velocidade é a projeção de sobre o vetor unitário da sirene para o carro. O cosseno do ângulo entre a direção do movimento e a linha de visão é
Logo a componente radial (a velocidade afastando-se ao longo da linha de visão) é
Passo 4
Lembrar e explicar a fórmula do efeito Doppler para observador em movimento e fonte estacionária:
- Para ondas sonoras não-relativísticas (caso usual), quando a fonte está parada e o observador se move, a frequência observada
é dada por:
onde o sinal
é usado se o observador se aproxima da fonte (aumenta a frequência) e o sinal
se o observador se afasta da fonte (diminui a frequência). Aqui:
-
é a frequência emitida pela sirene, -
é a componente da velocidade do observador ao longo da linha de visão (positiva quando o observador se afasta). - No nosso caso o motorista está se afastando, então usamos o sinal
. Assim
Passo 5
Substituir
e obter a expressão final em função de
:
- Substituindo
e na fórmula do passo anterior:
- Inserindo os valores numéricos conhecidos (
, , , ) obtemos a forma prática:
- Essa é a expressão analítica que fornece a frequência percebida pelo motorista para qualquer
.
Passo 6
Interpretação física e comportamento da função (dicas para a prova):
- Em
(o carro exatamente abaixo da sirene) temos e portanto . Isso ocorre porque, naquele instante, o movimento do carro é perpendicular à linha de visão e não há componente radial — sem deslocamento Doppler. - Para
temos . Assim a frequência tende ao valor assintótico
Numericamente,
Ou seja, ao longe o carro “ouve” uma frequência reduzida em um fator
em relação à emitida.
Passo 7
Alguns valores numéricos práticos (úteis para desenhar o gráfico rapidamente na prova ou em computador):
- Calculei
em pontos representativos: -
- Observação prática para o gráfico: a maior variação ocorre perto de
algumas centenas de metros e depois a curva se aproxima lentamente do valor assintótico .
Passo 8
Como traçar o gráfico (instruções rápidas para provar e para computador):
- No papel: marque
no eixo horizontal de a e no vertical a frequência entre e Hz. Plote os pontos do passo anterior e desenhe uma curva suave decrescente que começa em em e se aproxima de conforme cresce. - No computador (exemplo em Python/matplotlib): criar um vetor de
de a , avaliar
e plotar. O traçado mostrará uma queda rápida inicial e depois uma aproximação ao valor assintótico.
Resposta
Pontos para o gráfico no intervalo