Muitas cidades dispõem de sirenes para tornados, grandes sirenes elevadas que soam para alertar os cidadãos da iminência de tornados de um tornado. Em uma pequena cidade, uma sirene foi posicionada a 100 m de altura do solo. Um carro está trafegando 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, afastando-se da sirene enquanto ela emite um som de 440 Hz . Qual é a frequência do som ouvido pelo motorista em função da distância em relação à sirene emissora? Faça o gráfico dessa frequência em função da posição do carro até 1000 m. Obs: x é a distância do carro ao poste.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • A sirene está a 100\\ \mathrm{m} de altura do solo. Vou chamar essa altura de h, então h=100\\ \mathrm{m}.
    • A sirene emite uma frequência f_0=440\\ \mathrm{Hz}.
    • O carro se afasta da sirene com velocidade 100\\ \mathrm{km/h}. Vou chamar essa velocidade de v.
    • A variável x é a distância do carro ao poste (distância horizontal ao pé do poste) e queremos a frequência ouvida pelo motorista em função de x.
    • Quer-se o gráfico de f(x) para 0\le x\le1000\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual é a frequência do som ouvido pelo motorista em função da distância x em relação à sirene emissora?
    2. Fazer o gráfico dessa frequência em função da posição do carro até 1000\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Converter velocidades e definir notação (sempre importante antes de calcular):
  • Converter v de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A conversão é dividir por 3,6. Assim
v=\frac{100}{3,6}=27,777\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx27,78\\ \mathrm{m/s}.
  • Vou usar c para a velocidade do som. O enunciado não deu a velocidade do som, então adotamos o valor usual em ar a 20^\circ\mathrm{C}:
c=343\\ \mathrm{m/s}.
(Se a temperatura for diferente, troca-se c pelo valor correto; a fórmula abaixo continua válida.)

Passo 3

Entender a geometria (por que a altura importa):
  • O emissor está no ponto (0,h) com h=100\\ \mathrm{m}. O carro está no solo no ponto (x,0).
  • A distância direta (linha de visão) entre a sirene e o motorista é a hipotenusa
r(x)=\sqrt{x^{2}+h^{2}}=\sqrt{x^{2}+100^{2}}.
  • O motorista está se movendo na direção horizontal positiva (para maior x). O efeito Doppler depende da componente da velocidade do ouvinte na direção radial (na direção da linha que liga emissor e ouvinte). A componente radial da velocidade é a projeção de \vec v=(v,0) sobre o vetor unitário da sirene para o carro. O cosseno do ângulo entre a direção do movimento e a linha de visão é
\cos\theta=\frac{x}{r(x)}.
Logo a componente radial (a velocidade afastando-se ao longo da linha de visão) é
v_{\text{radial}}=v\cos\theta=v\frac{x}{r(x)}.

Passo 4

Lembrar e explicar a fórmula do efeito Doppler para observador em movimento e fonte estacionária:
  • Para ondas sonoras não-relativísticas (caso usual), quando a fonte está parada e o observador se move, a frequência observada f' é dada por:
f'=\left(1\pm\frac{v_{\text{radial}}}{c}\right)f_{0},
onde o sinal + é usado se o observador se aproxima da fonte (aumenta a frequência) e o sinal - se o observador se afasta da fonte (diminui a frequência). Aqui:
  • f_{0} é a frequência emitida pela sirene,
  • v_{\text{radial}} é a componente da velocidade do observador ao longo da linha de visão (positiva quando o observador se afasta).
  • No nosso caso o motorista está se afastando, então usamos o sinal -. Assim
f(x)=\left(1-\frac{v_{\text{radial}}}{c}\right)f_{0}.

Passo 5

Substituir v_{\text{radial}} e obter a expressão final em função de x:
  • Substituindo v_{\text{radial}}=v\frac{x}{r(x)} e r(x)=\sqrt{x^{2}+h^{2}} na fórmula do passo anterior:
f(x)=\left(1-\frac{v}{c}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}\right)f_{0}.
  • Inserindo os valores numéricos conhecidos ( f_{0}=440\\ \mathrm{Hz}, v=27,78\\ \mathrm{m/s}, h=100\\ \mathrm{m}, c=343\\ \mathrm{m/s}) obtemos a forma prática:
f(x)=440\left(1-\dfrac{27,78\;x}{343\;\sqrt{x^{2}+100^{2}}}\right)\\ \mathrm{Hz}.
  • Essa é a expressão analítica que fornece a frequência percebida pelo motorista para qualquer x\ge0.

Passo 6

Interpretação física e comportamento da função (dicas para a prova):
  • Em x=0 (o carro exatamente abaixo da sirene) temos x/r=0 e portanto f(0)=440\\ \mathrm{Hz}. Isso ocorre porque, naquele instante, o movimento do carro é perpendicular à linha de visão e não há componente radial — sem deslocamento Doppler.
  • Para x\to\infty temos x/\sqrt{x^{2}+h^{2}}\to1. Assim a frequência tende ao valor assintótico
f(\infty)=\left(1-\frac{v}{c}\right)f_{0}.
Numericamente,
f(\infty)\approx\left(1-\frac{27,78}{343}\right)\!440\approx404,38\\ \mathrm{Hz}.
Ou seja, ao longe o carro “ouve” uma frequência reduzida em um fator (1-v/c) em relação à emitida.

Passo 7

Alguns valores numéricos práticos (úteis para desenhar o gráfico rapidamente na prova ou em computador):
  • Calculei f(x) em pontos representativos:
    • x=0\\ \mathrm{m}:\quad f(0)=440\\ \mathrm{Hz}.
    • x=100\\ \mathrm{m}:\quad r=\sqrt{100^{2}+100^{2}}\approx141,42\\ \mathrm{m},\quad f(100)\approx414,80\\ \mathrm{Hz}.
    • x=300\\ \mathrm{m}:\quad r\approx316,23\\ \mathrm{m},\quad f(300)\approx406,61\\ \mathrm{Hz}.
    • x=1000\\ \mathrm{m}:\quad r\approx1004,99\\ \mathrm{m},\quad f(1000)\approx404,53\\ \mathrm{Hz}.
  • Observação prática para o gráfico: a maior variação ocorre perto de x=0\to algumas centenas de metros e depois a curva se aproxima lentamente do valor assintótico \approx404,38\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Como traçar o gráfico (instruções rápidas para provar e para computador):
  • No papel: marque x no eixo horizontal de 0 a 1000 e no vertical a frequência entre 404 e 440 Hz. Plote os pontos do passo anterior e desenhe uma curva suave decrescente que começa em 440 em x=0 e se aproxima de 404,38 conforme x cresce.
  • No computador (exemplo em Python/matplotlib): criar um vetor de x de 0 a 1000, avaliar
f(x)=440\left(1-\dfrac{27.777777\;x}{343\sqrt{x^{2}+100^{2}}}\right)
e plotar. O traçado mostrará uma queda rápida inicial e depois uma aproximação ao valor assintótico.

Resposta

f(x)=440\left(1-\dfrac{27,78\,x}{343\sqrt{x^{2}+100^{2}}}\right)\\ \mathrm{Hz}
Pontos para o gráfico no intervalo 0\le x\le1000\\ \mathrm{m}: f(0)=440\\ \mathrm{Hz}, f(100)\approx414,80\\ \mathrm{Hz}, f(300)\approx406,61\\ \mathrm{Hz}, f(1000)\approx404,53\\ \mathrm{Hz}.

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