Um novo teste de diagnóstico para detectar o vírus HIV é apresentado tendo 95% de change de dar um resultado positivo se o paciente é portador do HIV e 98 \% de chance de dar um negativo se o paciente não é portador do HIV. Em uma população com prevalência de 1 / 1000 casos de HIV (fração de infectados), qual é a chance de que uma pessoa com teste positivo ter realmente o vírus? (Resp: 0,045)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a probabilidade de que uma pessoa realmente tenha o vírus dado que o teste deu positivo, ou seja calcular P(\text{HIV} \mid +).
Dados fornecidos (vou escrever cada informação em forma de probabilidade):
  • Sensibilidade (chance de positivo se a pessoa é portadora): P(+ \mid \text{HIV}) = 0,95.
  • Especificidade (chance de negativo se a pessoa não é portadora): P(- \mid \text{não HIV}) = 0,98ã.
  • Prevalência na população (fração infectada): P(\text{HIV}) = \dfrac{1}{1000} = 0,001.
Informações que podemos deduzir imediatamente:
  • Probabilidade de não estar infectado: P(\text{não HIV}) = 1 - P(\text{HIV}) = 0,999ã.
  • Taxa de falso positivo (chance de dar positivo estando saudável): P(+ \mid \text{não HIV}) = 1 - P(- \mid \text{não HIV}) = 1 - 0,98 = 0,02ãã.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (Teorema de Bayes). Em palavras: a probabilidade de estar doente dado teste positivo é a sensibilidade vezes a prevalência, normalizada pela probabilidade total de dar positivo.
Em fórmulas:
P(\text{HIV}\mid +) = \frac{P(+\mid \text{HIV})\,P(\text{HIV})}{P(+)}
onde
P(+) = P(+\mid \text{HIV})\,P(\text{HIV}) + P(+\mid \text{não HIV})\,P(\text{não HIV}).ãã
Explicando cada termo:
  • P(+\mid \text{HIV}) é a sensibilidade: chance do teste pegar quem tem a doença.
  • P(\text{HIV}) é a prevalência: fração da população realmente infectada.
  • P(+\mid \text{não HIV})ã é a taxa de falso positivo.
  • P(+) é a chance total de um teste ser positivo em alguém da população (soma dos positivos verdadeiros e positivos falsos).

Passo 3

Substituindo os números conhecidos nas fórmulas:
Calcular o numerador:
P(+\mid \text{HIV})\,P(\text{HIV}) = 0,95 \times 0,001 = 0,00095.
Calcular a contribuição dos falsos positivos:
P(+\mid \text{não HIV})\,P(\text{não HIV}) = 0,02 \times 0,999 = 0,01998.ãã
Agora a probabilidade total de teste positivo:
P(+) = 0,00095 + 0,01998 = 0,02093.
Finalmente, aplicar Bayes:
P(\text{HIV}\mid +) = \frac{0,00095}{0,02093}.

Passo 4

Fazendo a divisão (ou aproximando):
\frac{0,00095}{0,02093} \approx 0,04539\ldots
Arredondando para três casas decimais:
P(\text{HIV}\mid +) \approx 0,045.

Passo 5

Interpretação intuitiva com números inteiros (ajuda a entender por que é tão baixo): imagine 1{,}000{,}000 pessoas (só para ter números inteiros).
  • Pessoas infectadas: 1{,}000{,}000 \times 0,001 = 1{,}000.
  • Verdadeiros positivos: 1{,}000 \times 0,95 = 950.
  • Pessoas não infectadas: 1{,}000{,}000 - 1{,}000 = 999{,}000.
  • Falsos positivos: 999{,}000 \times 0,02 = 19{,}980.
  • Total de testes positivos: 950 + 19{,}980 = 20{,}930.
  • Fração realmente infectada entre os positivos: \dfrac{950}{20{,}930} \approx 0,04539, que é a mesma resposta.
Isso mostra que, com prevalência muito baixa, mesmo um teste com boa sensibilidade e especificidade pode ter uma maioria de positivos sendo falsos positivos.

Resposta

0,045

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