Um novo teste de diagnóstico para detectar o vírus HIV é apresentado tendo 95% de change de dar um resultado positivo se o paciente é portador do HIV e
de chance de dar um negativo se o paciente não é portador do HIV. Em uma população com prevalência de
casos de HIV (fração de infectados), qual é a chance de que uma pessoa com teste positivo ter realmente o vírus? (Resp: 0,045)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a probabilidade de que uma pessoa realmente tenha o vírus dado que o teste deu positivo, ou seja calcular
.
Dados fornecidos (vou escrever cada informação em forma de probabilidade):
- Sensibilidade (chance de positivo se a pessoa é portadora):
. - Especificidade (chance de negativo se a pessoa não é portadora):
. - Prevalência na população (fração infectada):
.
Informações que podemos deduzir imediatamente:
- Probabilidade de não estar infectado:
. - Taxa de falso positivo (chance de dar positivo estando saudável):
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (Teorema de Bayes). Em palavras: a probabilidade de estar doente dado teste positivo é a sensibilidade vezes a prevalência, normalizada pela probabilidade total de dar positivo.
Em fórmulas:
onde
Explicando cada termo:
-
é a sensibilidade: chance do teste pegar quem tem a doença. -
é a prevalência: fração da população realmente infectada. -
é a taxa de falso positivo. -
é a chance total de um teste ser positivo em alguém da população (soma dos positivos verdadeiros e positivos falsos).
Passo 3
Substituindo os números conhecidos nas fórmulas:
Calcular o numerador:
Calcular a contribuição dos falsos positivos:
Agora a probabilidade total de teste positivo:
Finalmente, aplicar Bayes:
Passo 4
Fazendo a divisão (ou aproximando):
Arredondando para três casas decimais:
Passo 5
Interpretação intuitiva com números inteiros (ajuda a entender por que é tão baixo): imagine
pessoas (só para ter números inteiros).
- Pessoas infectadas:
. - Verdadeiros positivos:
. - Pessoas não infectadas:
. - Falsos positivos:
. - Total de testes positivos:
. - Fração realmente infectada entre os positivos:
, que é a mesma resposta.
Isso mostra que, com prevalência muito baixa, mesmo um teste com boa sensibilidade e especificidade pode ter uma maioria de positivos sendo falsos positivos.