1. Obter a função inversa da função f(x)=3 x-2.

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=3x-2 e pede a sua inversa. O conteúdo aqui é “função inversa”: para encontrá-la, precisamos verificar que f é bijetora (um para um e sobre) e depois resolver a equação y=f(x) para x, trocando em seguida as variáveis.

Passo 2

Mostrar que f é bijetora. Como f é uma função afim com coeficiente angular 3\neq0, ela é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Logo, é injetora. Além disso, o contradomínio de f é \mathbb{R} e uma reta não vertical atinge todos os valores reais, então f é sobrejetora. Concluímos que f é bijetora e, portanto, tem inversa.

Passo 3

Para encontrar a inversa, escrevemos
y = 3x - 2
e isolamos x em função de y:
y + 2 = 3x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y + 2}{3}.

Passo 4

Trocamos o papel de x e y (pois a inversa troca domínio e contradomínio) para obter a fórmula de f^{-1}:
f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}.

Resposta

A função inversa é
f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}.

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