(Ogata - Problema B.5.14 pag 272) - Obtenha o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2 s+36}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada para resposta ao degrau unitário:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2s+36}.
O que nos pede explicitamente:
  • Obter o tempo de pico (tempo até o primeiro pico) — t_p.
  • Obter o máximo sobressinal (overshoot máximo) — geralmente expresso em porcentagem — M_p.
  • Obter o tempo de acomodação (settling time) — t_s.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função de transferência é um polinômio de segundo grau no denominador, portanto trata-se de um sistema de segunda ordem.
  • A entrada é um degrau unitário (implícito na frase “resposta ao degrau unitário”).
  • Coeficientes do denominador: termo em s^2 é 1, termo em s é 2, termo constante é 36.

Passo 2

Colocando esta função de transferência na forma padrão de um sistema de segunda ordem:
\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
Comparando termo a termo com \dfrac{36}{s^{2}+2s+36}, obtemos as igualdades:
\omega_{n}^{2}=36
e
2\zeta\omega_{n}=2.
Agora resolvemos essas duas igualdades para encontrar \omega_{n} e \zeta.

Passo 3

Calcule \omega_{n} a partir de \omega_{n}^{2}=36:
\omega_{n}=\sqrt{36}=6.
Calcule \zeta a partir de 2\zeta\omega_{n}=2:
2\zeta\cdot 6=2 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx 0,166666\ldots
Interpretação física curta (didática): \omega_{n} é a frequência natural não amortecida (rad/s) do sistema; \zeta é o coeficiente de amortecimento adimensional. Como \zeta<1, o sistema é subamortecido (underdamped) e terá oscilações amortecidas — por isso faz sentido falar de tempo de pico e overshoot.

Passo 4

Para sistema subamortecido, definimos a frequência amortecida \omega_d por
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo os valores já encontrados:
\omega_{d}=6\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}}=6\sqrt{1-\tfrac{1}{36}}=6\sqrt{\tfrac{35}{36}}= \sqrt{35}.
Então \omega_{d}=\sqrt{35}. Numericamente, \sqrt{35}\approx 5,91607978.

Passo 5

Tempo de pico t_p: é o tempo até o primeiro pico da resposta subamortecida, dado pela fórmula clássica
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}.
Expliquei por que: a resposta subamortecida possui um termo seno com frequência \omega_d; o primeiro pico ocorre quando o argumento do seno alcança \pi (levando em conta o deslocamento de fase), daí a fórmula acima.
Calcule:
t_{p}=\frac{\pi}{\sqrt{35}}.
Numérico: \pi\approx 3,14159265 e \sqrt{35}\approx 5,91607978, logo
t_{p}\approx \frac{3,14159265}{5,91607978}\approx 0,531\\ \text{s}.

Passo 6

Máximo sobressinal M_p: a fórmula padrão para percentagem de overshoot (fração do valor final) de um sistema de segunda ordem subamortecido é
M_{p}=\exp\!\left(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right).
Derivação curta (didática): o amortecimento causa uma redução exponencial do envelope das oscilações; o valor no primeiro pico resulta da combinação dessa exponencial com a fase, levando à expressão do exponencial acima. Substituímos \zeta=\tfrac{1}{6} e \sqrt{1-\zeta^{2}}=\tfrac{\sqrt{35}}{6}:
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{1/6}{\sqrt{35}/6}=\frac{1}{\sqrt{35}}.
Portanto o expoente simplifica para -\dfrac{\pi}{\sqrt{35}} e
M_{p}=\exp\!\left(-\frac{\pi}{\sqrt{35}}\right).
Numericamente:
M_{p}\approx e^{-0,531}\approx 0,5889.
Em porcentagem:
M_{p}\approx 58,9\%.
Observação prática: o pico absoluto (valor máximo atingido pela saída) é 1+M_{p} para degrau unitário, isto é \approx 1,5889, caso queira o valor do pico em amplitude.

Passo 7

Tempo de acomodação t_s (settling time): há duas convenções comuns — critério de 2\% (mais usado) e critério de 5\%. A fórmula de aproximação amplamente utilizada para o critério de 2\% é
t_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}}.
Expliquei por que: o fator exponencial do decaimento do envelope é \exp(-\zeta\omega_{n}t); para que esse envelope fique abaixo de 0{,}02 (2%) toma-se e^{-\zeta\omega_n t_s}\approx 0{,}02, e isso leva à aproximação t_s\approx 4/(\zeta\omega_n) (valor prático obtido pela resolução logarítmica aproximada).
Aqui usamos o critério de 2\% por ser o padrão em problemas de tempo de acomodação em controle (se o professor quisesse 5% devemos usar t_s\approx 3/(\zeta\omega_n); eu optei por 2% e explicitei a escolha).
Calcule:
\zeta\omega_{n}=\frac{1}{6}\cdot 6=1,
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t_{s}\approx \frac{4}{1}=4\\ \text{s}.

Resposta

t_{p}=0,531\\ \mathrm{s}
M_{p}=58{,}9\%
t_{s}\approx 4{,}0\\ \mathrm{s}

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