(Ogata - Problema B.5.14 pag 272) - Obtenha o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha fechada para resposta ao degrau unitário:
O que nos pede explicitamente:
- Obter o tempo de pico (tempo até o primeiro pico) —
. - Obter o máximo sobressinal (overshoot máximo) — geralmente expresso em porcentagem —
. - Obter o tempo de acomodação (settling time) —
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função de transferência é um polinômio de segundo grau no denominador, portanto trata-se de um sistema de segunda ordem.
- A entrada é um degrau unitário (implícito na frase “resposta ao degrau unitário”).
- Coeficientes do denominador: termo em
é , termo em é , termo constante é .
Passo 2
Colocando esta função de transferência na forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Comparando termo a termo com
, obtemos as igualdades:
e
Agora resolvemos essas duas igualdades para encontrar
e
.
Passo 3
Calcule
a partir de
:
Calcule
a partir de
:
Interpretação física curta (didática):
é a frequência natural não amortecida (rad/s) do sistema;
é o coeficiente de amortecimento adimensional. Como
, o sistema é subamortecido (underdamped) e terá oscilações amortecidas — por isso faz sentido falar de tempo de pico e overshoot.
Passo 4
Para sistema subamortecido, definimos a frequência amortecida
por
Substituindo os valores já encontrados:
Então
. Numericamente,
.
Passo 5
Tempo de pico
: é o tempo até o primeiro pico da resposta subamortecida, dado pela fórmula clássica
Expliquei por que: a resposta subamortecida possui um termo seno com frequência
; o primeiro pico ocorre quando o argumento do seno alcança
(levando em conta o deslocamento de fase), daí a fórmula acima.
Calcule:
Numérico:
e
, logo
Passo 6
Máximo sobressinal
: a fórmula padrão para percentagem de overshoot (fração do valor final) de um sistema de segunda ordem subamortecido é
Derivação curta (didática): o amortecimento causa uma redução exponencial do envelope das oscilações; o valor no primeiro pico resulta da combinação dessa exponencial com a fase, levando à expressão do exponencial acima. Substituímos
e
:
Portanto o expoente simplifica para
e
Numericamente:
Em porcentagem:
Observação prática: o pico absoluto (valor máximo atingido pela saída) é
para degrau unitário, isto é
, caso queira o valor do pico em amplitude.
Passo 7
Tempo de acomodação
(settling time): há duas convenções comuns — critério de
(mais usado) e critério de
. A fórmula de aproximação amplamente utilizada para o critério de
é
Expliquei por que: o fator exponencial do decaimento do envelope é
; para que esse envelope fique abaixo de
(2%) toma-se
, e isso leva à aproximação
(valor prático obtido pela resolução logarítmica aproximada).
Aqui usamos o critério de
por ser o padrão em problemas de tempo de acomodação em controle (se o professor quisesse 5% devemos usar
; eu optei por 2% e explicitei a escolha).
Calcule:
logo