Uma onda eletromagnética plana, cujo comprimento de onda vale 6 mm , se propaga no vácuo, no sentido positivo do eixo x, com seu vetor campo elétrico \vec{E}, de amplitude 300 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, alinhado com o eixo y. a) Quais são os valores do número de onda k e da frequência angular da onda? b) Determine o vetor campo magnético associado a esta onda, c) Calcule a intensidade da onda, d) Se esta onda incide sobre uma superfície que absorve toda a radiação incidente, cuja área vale 4 \mathrm{~m}^{2}, qual a taxa de transferência de momento para a superfície e qual o valor da pressão de radiação exercida sobre esta mesma superfície?
12. Lasers de alta potência são usados para comprimir plasmas (gases ionizados) através da pressão de radiação. Se a densidade de elétrons de um plasma for suficientemente alta, seu coeficiente de reflexão
será igual à unidade. Um laser que gera pulsos de radiação cuja potência de pico é 10 MW é focalizado sobre uma região de área de 3 \mathrm{~mm}^{2} em um plasma de alta densidade eletrônica. Calcule a pressão exercida sobre o plasma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que tem e o que se pede, sem resolver ainda):
  • Comprimento de onda: \lambda = 6\\ \text{mm} = 6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • A onda é plana, propaga-se no vácuo no sentido positivo do eixo x.
  • O campo elétrico tem amplitude E_0 = 300\\ \mathrm{V/m} e está alinhado com o eixo y. Ou seja, a polarização elétrica é ao longo de \hat{y}.
  • Perguntas (primeira parte):
    (a) Calcular o número de onda k e a frequência angular \omega.
    (b) Determinar o vetor campo magnético associado à onda \vec{B}(x,t).
    (c) Calcular a intensidade (fluxo de energia médio) da onda I.
    (d) Se a onda incide sobre uma superfície que absorve toda a radiação e tem área A = 4\\ \mathrm{m^2}, qual a taxa de transferência de momento para a superfície (isto é, a força) e qual a pressão de radiação sobre a superfície?
Além disso há um segundo item (questão 12):
  • Um laser com potência de pico P=10\\ \mathrm{MW}=1\times10^{7}\\ \mathrm{W} é focalizado numa área A_{\text{laser}}=3\\ \mathrm{mm}^2=3\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 sobre um plasma que reflete totalmente (coeficiente de reflexão igual a 1).
  • Pergunta (segunda parte): calcular a pressão de radiação exercida sobre o plasma.

Passo 2

Calcular k e \omega. Fórmulas e ideias usadas (explicando como e por quê):
  • O número de onda k mede quantos radianos existem por metro na fase da onda; a relação com o comprimento de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Aqui \lambda está em metros, então k tem unidade \mathrm{m^{-1}}. Substituindo \lambda=6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
k=\frac{2\pi}{6\times10^{-3}}=\frac{\pi}{3\times10^{-3}}=\pi\cdot\frac{1}{3}\times10^{3}.
Fazendo a conta numérica:
k\approx1{,}047\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • A frequência angular \omega (em \mathrm{rad/s}) para uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo relaciona-se com k pela velocidade de fase v_{\text{f}}=c (no vácuo):
\omega = c\,k.
Aqui c é a velocidade da luz no vácuo; usaremos c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Substituindo o k encontrado, ou diretamente pela relação \omega = 2\pi c/\lambda:
\omega = \frac{2\pi c}{\lambda} = \frac{2\pi\cdot3{,}00\times10^{8}}{6\times10^{-3}}.
Veja que 2\pi\cdot3{,}00\times10^{8}/6\times10^{-3} = \pi\times10^{11}, portanto
\omega = \pi\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}\approx3{,}142\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar o vetor campo magnético \vec{B}(x,t). Conceito e fórmula usados (passo a passo, sem pular):
  • Para uma onda plana EMS no vácuo os vetores \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat{k} são mutuamente perpendiculares e formam um triângulo dextrógiro. Uma relação prática em unidades SI é
\vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E},
onde \hat{k} é o versor na direção de propagação (aqui \hat{k}=\hat{x}). Essa fórmula significa que o módulo máximo do campo magnético é B_0=E_0/c e a direção de \vec{B} é dada pelo produto vetorial \hat{k}\times\hat{e}_E.
  • No problema: \hat{k}=\hat{x} (propagação +x) e \vec{E} apontando em \hat{y} com amplitude E_0. Então
\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},
logo \vec{B} aponta na direção +\hat{z}. O módulo é
B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{300}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}=1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • A forma temporal/espacial (onda harmônica viajante, mesma fase em E e B) é
\vec{E}(x,t)=E_0\cos\!\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{y},
\vec{B}(x,t)=B_0\cos\!\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{z},
com E_0=300\\ \mathrm{V/m} e B_0=1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{T}. (Mesma fase porque as equações de Maxwell para onda plana no vácuo ligam E e B dessa forma.)

Passo 4

Calcular a intensidade média I (fluxo de energia médio por unidade de área). Fórmulas e explicação detalhada:
  • O vetor de Poynting instantâneo é \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B}. É a densidade de fluxo de energia (potência por área). Para uma onda harmônica, o valor médio no tempo é
\langle S\rangle = \frac{1}{2\mu_0}E_0 B_0.
  • Substitindo B_0=E_0/c dá uma forma prática muito usada:
\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}.
Usando a relação c^2=1/(\mu_0\varepsilon_0) pode-se escrever também
\langle S\rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2,
o que é mais conveniente numericamente porque \varepsilon_0 e c são valores conhecidos. Aqui \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Agora calculemos passo a passo:
E_0^2 = 300^2 = 9{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{(V/m)^2}.
c\varepsilon_0 = 3{,}00\times10^{8}\times8{,}854\times10^{-12}=2{,}6562\times10^{-3}.
\frac{1}{2}c\varepsilon_0 = 1{,}3281\times10^{-3}.
Multiplicando por E_0^2:
I=\langle S\rangle = 1{,}3281\times10^{-3}\times9{,}00\times10^{4}=1{,}1953\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Arredondando de forma prática, I\approx119{,}5\\ \mathrm{W/m^{2}} (aprox 1{,}20\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}). Esse é o fluxo médio de energia que atravessa uma área perpendicular à direção de propagação.

Passo 5

Taxa de transferência de momento (força) e pressão sobre superfície totalmente absorvente de área A=4\\ \mathrm{m^2}. Explicação física e cálculo passo a passo:
  • Energia por segundo que atinge a superfície é P_{\text{absorvida}}=I\cdot A. Para cada quantidade de energia E absorvida, a quantidade de momento transportada pela luz é p=E/c (numa absorção total, toda a quantidade de momento associada à energia é transferida). Portanto a taxa de transferência de momento (força) é
F=\frac{P_{\text{absorvida}}}{c}=\frac{I\,A}{c}.
  • A pressão de radiação sobre a superfície (força por unidade de área) é
p_{\text{rad}}=\frac{F}{A}=\frac{I}{c}.
  • Usando I=1{,}1953\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
p_{\text{rad}}=\frac{1{,}1953\times10^{2}}{3{,}00\times10^{8}}=3{,}9843\times10^{-7}\\ \mathrm{Pa}.
F = p_{\text{rad}}\,A = 3{,}9843\times10^{-7}\times4 = 1{,}5937\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando: pressão aproximadamente 3{,}98\times10^{-7}\\ \mathrm{Pa} e força (taxa de transferência de momento) aproximadamente 1{,}59\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Pressão de radiação do laser (questão 12). Procedimento e contas detalhadas:
  • Primeiro obter a intensidade do laser focalizado:
I_{\text{laser}}=\frac{P}{A_{\text{laser}}}=\frac{1\times10^{7}\\ \mathrm{W}}{3\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}}=3{,}3333\times10^{12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Para uma superfície que reflete totalmente (reflexão perfeita, incidência normal), a velocidade normal das fótons é invertida e a variação de momento por fóton dobrada comparada à absorção. Portanto a pressão de radiação é o dobro da caso absorvente:
p_{\text{rad, refletor}}=\frac{2I_{\text{laser}}}{c}.
  • Calculando:
p_{\text{rad}}=\frac{2\times3{,}3333\times10^{12}}{3{,}00\times10^{8}}=2{,}2222\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Isto é aproximadamente 2{,}22\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}, ou 22{,}2\\ \mathrm{kPa}. É uma pressão grande — por isso lasers de alta potência conseguem exercer compressões notáveis em plasmas.

Resposta

(a) k=1{,}047\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}, \omega=\pi\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}\approx3{,}142\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}
(b) \vec{E}(x,t)=300\cos\!\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{y}, \vec{B}(x,t)=1{,}00\times10^{-6}\cos\!\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{z} (com k e \omega do item (a))
(c) I=\langle S\rangle\approx1{,}1953\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}} (ou 119{,}5\\ \mathrm{W/m^{2}})
(d) Taxa de transferência de momento (força) F=\dfrac{I A}{c}\approx1{,}5937\times10^{-6}\\ \mathrm{N}
Pressão de radiação sobre a superfície absorvente p_{\text{rad}}=\dfrac{I}{c}\approx3{,}9843\times10^{-7}\\ \mathrm{Pa}
Questão 12: Pressão de radiação sobre o plasma refletor p_{\text{rad}}=\dfrac{2I_{\text{laser}}}{c}\approx2{,}2222\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈ 22{,}2\\ \mathrm{kPa}).

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