Se
, podemos afirmar corretamente que
está em que intervalo de valores reais?
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
. A pergunta é: para quais valores reais de
existe algum
real que satisfaça essa igualdade? Em outras palavras, qual é o conjunto de valores de
para os quais a expressão
pertence ao intervalo de valores possíveis da função seno?
Passo 2
Lembrete importante sobre a função seno: para qualquer
real o valor de
está sempre entre
e
. Isso vem da interpretação geométrica do seno como a componente
de um ponto na circunferência trigonométrica de raio
. Portanto vale a desigualdade
Passo 3
Como
, a condição necessária e suficiente para existir
real que satisfaça a igualdade é que
esteja entre
e
. Escrevendo isso em forma de desigualdade composta:
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo. Primeiro somamos
em todos os membros:
o que dá
Passo 5
Em seguida dividimos todos os membros por
. Como
é positivo, a direção das desigualdades não muda. Assim:
Passo 6
Vamos checar com exemplos rápidos para ganhar confiança:
- Se
então e tem solução ( , por exemplo). - Se
então e tem solução ( , por exemplo). - Se
então , que está fora do intervalo , logo não há real que satisfaça a igualdade — então não deve estar no conjunto solução.