Se \operatorname{sen}(x)=4 m-2, podemos afirmar corretamente que m está em que intervalo de valores reais?

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \operatorname{sen}(x)=4m-2. A pergunta é: para quais valores reais de m existe algum x real que satisfaça essa igualdade? Em outras palavras, qual é o conjunto de valores de m\in\mathbb{R} para os quais a expressão 4m-2 pertence ao intervalo de valores possíveis da função seno?

Passo 2

Lembrete importante sobre a função seno: para qualquer x real o valor de \operatorname{sen}(x) está sempre entre -1 e 1. Isso vem da interpretação geométrica do seno como a componente y de um ponto na circunferência trigonométrica de raio 1. Portanto vale a desigualdade
-1 \le \operatorname{sen}(x) \le 1.

Passo 3

Como \operatorname{sen}(x)=4m-2, a condição necessária e suficiente para existir x real que satisfaça a igualdade é que 4m-2 esteja entre -1 e 1. Escrevendo isso em forma de desigualdade composta:
-1 \le 4m-2 \le 1.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade passo a passo. Primeiro somamos 2 em todos os membros:
-1 + 2 \le 4m-2 + 2 \le 1 + 2
o que dá
1 \le 4m \le 3.

Passo 5

Em seguida dividimos todos os membros por 4. Como 4 é positivo, a direção das desigualdades não muda. Assim:
\frac{1}{4} \le m \le \frac{3}{4}.

Passo 6

Vamos checar com exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Se m=\dfrac{1}{4} então 4m-2=0 e \operatorname{sen}(x)=0 tem solução ( x=0, por exemplo).
  • Se m=\dfrac{3}{4} então 4m-2=1 e \operatorname{sen}(x)=1 tem solução ( x=\dfrac{\pi}{2}, por exemplo).
  • Se m=0 então 4m-2=-2, que está fora do intervalo [-1,1], logo não há x real que satisfaça a igualdade — então m=0 não deve estar no conjunto solução.

Resposta

\displaystyle m\in\left[\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right]

Exercícios relacionados