Se \|\boldsymbol{u}\|=\sqrt{5} e \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{7} \mathrm{e}\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=21 calcule \|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}\|.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • \| \boldsymbol{u} \| = \sqrt{5}.
  • \| \boldsymbol{v} \| = \sqrt{7}.
  • \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle = 21.
O que é pedido:
  • Calcular \| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \|.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • A magnitude do produto vetorial pode ser expressa em função do ângulo \theta entre os vetores por
\| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \| = \| \boldsymbol{u} \| \, \| \boldsymbol{v} \| \sin\theta.
Aqui \theta é o ângulo em [0,\pi] entre \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}. A definição de produto escalar em termos de ângulo é
\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle = \| \boldsymbol{u} \| \, \| \boldsymbol{v} \| \cos\theta.
  • Usando \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta e multiplicando, obtemos a identidade muito útil
\| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \|^2 = \| \boldsymbol{u} \|^2 \, \| \boldsymbol{v} \|^2 - \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle^2.
Esta fórmula é prática porque já envolve apenas normas e produto escalar (não precisa conhecer \theta separadamente). Vou explicar: a primeira parcela é o quadrado do produto das normas; da diferença subtrai-se o quadrado do produto escalar (que é \|u\|^2\|v\|^2\cos^2\theta ), sobrando \|u\|^2\|v\|^2(1-\cos^2\theta)=\|u\|^2\|v\|^2\sin^2\theta, que é exatamente \|u\times v\|^2.

Passo 3

Agora aplico essa identidade aos números dados. Primeiro calcule as quantidades simples:
\| \boldsymbol{u} \|^2 = 5,\qquad \| \boldsymbol{v} \|^2 = 7,
logo
\| \boldsymbol{u} \|^2 \, \| \boldsymbol{v} \|^2 = 5\cdot 7 = 35.
Também
\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle^2 = 21^2 = 441.
Substituindo na identidade:
\| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \|^2 = 35 - 441 = -406.

Passo 4

Interpretação do resultado: \| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \|^2 não pode ser negativo para vetores reais (a norma ao quadrado é sempre \ge 0). Portanto o valor -406 indica que há um problema com os dados fornecidos — eles são incompatíveis para vetores reais.
Uma forma direta de ver a incompatibilidade é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz
|\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle| \le \| \boldsymbol{u} \| \, \| \boldsymbol{v} \|.
Aqui o lado direito vale
\| \boldsymbol{u} \| \, \| \boldsymbol{v} \| = \sqrt{5}\sqrt{7} = \sqrt{35}\approx 5{,}916,
enquanto o produto escalar fornecido é 21, que é muito maior. Logo a desigualdade é violada — não existem vetores reais \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} com essas normas e esse produto escalar.

Passo 5

Consequência prática para a pergunta: não há como obter um valor real para \| \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \| a partir desses dados, porque os dados são inconsistentes. Formalmente a identidade levaria a um módulo imaginário \sqrt{-406}, mas isso não representa a norma de um produto vetorial de vetores reais.

Resposta

Os dados são inconsistentes — não existem vetores reais com \| \boldsymbol{u} \|=\sqrt{5}, \| \boldsymbol{v} \|=\sqrt{7} e \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle=21; portanto \| \boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\| não é um número real.

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