Se
e
calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
-
. -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo).
- A magnitude do produto vetorial pode ser expressa em função do ângulo
entre os vetores por
Aqui
é o ângulo em
entre
e
. A definição de produto escalar em termos de ângulo é
- Usando
e multiplicando, obtemos a identidade muito útil
Esta fórmula é prática porque já envolve apenas normas e produto escalar (não precisa conhecer
separadamente). Vou explicar: a primeira parcela é o quadrado do produto das normas; da diferença subtrai-se o quadrado do produto escalar (que é
), sobrando
, que é exatamente
.
Passo 3
Agora aplico essa identidade aos números dados. Primeiro calcule as quantidades simples:
logo
Também
Substituindo na identidade:
Passo 4
Interpretação do resultado:
não pode ser negativo para vetores reais (a norma ao quadrado é sempre
). Portanto o valor
indica que há um problema com os dados fornecidos — eles são incompatíveis para vetores reais.
Uma forma direta de ver a incompatibilidade é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz
Aqui o lado direito vale
enquanto o produto escalar fornecido é
, que é muito maior. Logo a desigualdade é violada — não existem vetores reais
com essas normas e esse produto escalar.
Passo 5
Consequência prática para a pergunta: não há como obter um valor real para
a partir desses dados, porque os dados são inconsistentes. Formalmente a identidade levaria a um módulo imaginário
, mas isso não representa a norma de um produto vetorial de vetores reais.
Resposta
Os dados são inconsistentes — não existem vetores reais com
,
e
; portanto
não é um número real.