Padrão IEEE 754: Dado um sistema hipotético de ponto flutuante F(10,3,-2,2) (Base 10, mantissa de 3 dígitos, expoentes entre -2 e 3):
Como o número 0.005555 é representado usando arredondamento?

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto-flutuante F(10,3,-2,2) e pede como representar o número 0,005555 usando arredondamento. As informações relevantes são:
  • Base: 10.
  • Precisão (número de dígitos significativos): t=3 (mantissa com 3 dígitos significativos).
  • Intervalo de expoentes (conforme o F): E_{\min}=-2 e E_{\max}=2.
  • O número a representar é 0,005555.
  • Deve-se usar arredondamento (assumiremos o modo padrão IEEE: arredondamento para o mais próximo, em caso de empate “round-to-even” — arredonda para tornar o dígito final par).

Passo 2

Vou explicar como é o formato e como decidir se o número é normalizado ou denormalizado (subnormal), sem ainda calcular.
  • Forma normalizada (base 10, t=3): valores não nulos têm a forma
\pm d_0.d_1 d_2 \times 10^{e},
onde d_0\in\{1,2,\dots,9\} e há exatamente t=3 dígitos significativos d_0,d_1,d_2; o expoente e deve satisfazer E_{\min}\le e\le E_{\max}.
  • Se o expoente necessário para a forma normalizada cair abaixo de E_{\min}, o número não pode ser representado como normalizado. Então usamos a forma denormalizada (subnormal, “gradual underflow”):
\pm 0.d_1 d_2 d_3 \times 10^{E_{\min}},
onde agora os dígitos d_1,d_2,d_3 (aqui t dígitos) podem começar por zero. Essa forma permite representar valores menores que o menor normalizado.
  • Arredondamento (IEEE round-to-nearest, ties-to-even): para reduzir mais dígitos do que o disponível, escolhe-se o valor representável mais próximo; se o valor está exatamente no meio entre dois candidatos, escolhe-se aquele cujo último dígito retido é par.

Passo 3

Bootstrap: escrever o número em notação científica normalizada (antes de checar limites de expoente).
0,005555 = 5,555 \times 10^{-3}.
Aqui a mantissa normalizada teria d_0=5, d_1=5, d_2=5 e o expoente seria e=-3. Mas e=-3 é menor do que E_{\min}=-2. Logo não pode ser representado como número normalizado no sistema dado. Precisamos recorrer à representação denormalizada (expoente fixo em E_{\min}=-2).

Passo 4

Construção da denormalizada: escrevemos o número como
\text{valor} = m \times 10^{E_{\min}},
onde m deve ser um número da forma 0.d_1 d_2 d_3 (exatamente t=3 dígitos após o ponto) em base 10. Calculamos m:
m = \frac{0,005555}{10^{-2}} = 0,5555.
Agora precisamos arredondar m=0,5555 para três dígitos após o ponto, isto é, para um número da forma 0.d_1 d_2 d_3.

Passo 5

Arredondamento de m=0,5555 para três dígitos após o ponto:
  • Os três primeiros dígitos são 0,555.
  • O quarto dígito (o que decide o arredondamento) é 5. Não há dígitos não nulos além desse 5, então estamos exatamente no caso empate “meio”.
  • Pelo critério “ties-to-even”, olhamos o terceiro dígito retido: ele é 5 (ímpar). Em empate, arredondamos para cima para tornar esse dígito par. Assim 0,555 arredonda para 0,556.
    Portanto a mantissa denormalizada arredondada é m_{\text{arred}}=0,556.

Passo 6

Voltando da mantissa arredondada para o número representável:
\text{representação} = 0,556 \times 10^{E_{\min}} = 0,556 \times 10^{-2}.çã
Calculando em decimal:
0,556 \times 10^{-2} = 0,00556.
Observação: esse resultado coincide com o que obteríamos se tivéssemos tentado arredondar a forma normalizada 5,555\times10^{-3} para três dígitos significativos (resultando em 5,56\times10^{-3}), mas a forma legal no formato do sistema é a denormalizada 0,556\times10^{-2} devido ao limite de expoente.

Resposta

5,56\times10^{-3}

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