Uma partícula está localizada em \mathbf{r}(\mathrm{t})=14 \mathrm{t} \mathbf{i}+6 \mathrm{t}^{2} \mathbf{j}.
(i) Encontre sua posição, velocidade e aceleração em t=2 \mathrm{~s}.
(ii) Encontre sua velocidade média e aceleração média nos primeiros dois segundos.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
\mathbf{r}(t)=14t\,\mathbf{i}+6t^{2}\,\mathbf{j}.
As perguntas são:
(i) Encontrar a posição, a velocidade e a aceleração no instante t=2\\ \text{s}.
(ii) Encontrar a velocidade média e a aceleração média nos primeiros dois segundos (intervalo [0,2]).
Informações relevantes fornecidas:
A função de posição \mathbf{r}(t) está dada (peguei isso do enunciado).
O instante para (i) é t=2\\ \text{s}.
O intervalo para (ii) é de t=0 a t=2\\ \text{s}.
Unidades temporais: t em segundos. Vou usar as unidades padrão: posição em \text{m}, velocidade em \text{m/s} e aceleração em \text{m/s}^2.
Passo 2
Vamos separar a função em componentes cartesianas (isso facilita tudo):
Explicação rápida sobre notação e objetivo: \mathbf{i} e \mathbf{j} são vetores unitários nas direções x e y. Para obter a velocidade instantânea \mathbf{v}(t) tomamos a derivada temporal componente a componente:
Comentário de amizade: isso confirma a observação do Passo 4 — como a aceleração é constante, a aceleração média coincide com a aceleração instantânea.