Uma partícula está localizada em \mathbf{r}(\mathrm{t})=14 \mathrm{t} \mathbf{i}+6 \mathrm{t}^{2} \mathbf{j}.
(i) Encontre sua posição, velocidade e aceleração em t=2 \mathrm{~s}.
(ii) Encontre sua velocidade média e aceleração média nos primeiros dois segundos.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
\mathbf{r}(t)=14t\,\mathbf{i}+6t^{2}\,\mathbf{j}.
As perguntas são:
  • (i) Encontrar a posição, a velocidade e a aceleração no instante t=2\\ \text{s}.
  • (ii) Encontrar a velocidade média e a aceleração média nos primeiros dois segundos (intervalo [0,2]).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de posição \mathbf{r}(t) está dada (peguei isso do enunciado).
  • O instante para (i) é t=2\\ \text{s}.
  • O intervalo para (ii) é de t=0 a t=2\\ \text{s}.
  • Unidades temporais: t em segundos. Vou usar as unidades padrão: posição em \text{m}, velocidade em \text{m/s} e aceleração em \text{m/s}^2.

Passo 2

Vamos separar a função em componentes cartesianas (isso facilita tudo):
\mathbf{r}(t)=\big(r_x(t)\big)\mathbf{i}+\big(r_y(t)\big)\mathbf{j},
onde
r_x(t)=14t,\qquad r_y(t)=6t^{2}.
Explicação rápida sobre notação e objetivo: \mathbf{i} e \mathbf{j} são vetores unitários nas direções x e y. Para obter a velocidade instantânea \mathbf{v}(t) tomamos a derivada temporal componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dr_x}{dt}\,\mathbf{i}+\frac{dr_y}{dt}\,\mathbf{j}.
Isto significa: derivar cada função de t separadamente. Para a aceleração \mathbf{a}(t) fazemos a derivada da velocidade:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}.

Passo 3

Derivando as componentes (regra básica: \dfrac{d}{dt}(kt)=k e \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t):
\frac{dr_x}{dt}=\frac{d}{dt}(14t)=14, \qquad \frac{dr_y}{dt}=\frac{d}{dt}(6t^{2})=6\cdot 2t=12t.
Portanto a velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=14\,\mathbf{i}+12t\,\mathbf{j}.

Passo 4

Agora derivamos \mathbf{v}(t) para obter a aceleração. Derivada de 14 é 0 e de 12t é 12:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}=12\,\mathbf{j}.
Observação didática: a aceleração aqui é constante (não depende de t), por isso a média no intervalo será igual à aceleração instantânea.

Passo 5

Agora avaliamos em t=2\\ \text{s}.
Primeiro a posição:
r_x(2)=14\cdot 2=28,\qquad r_y(2)=6\cdot 2^{2}=6\cdot 4=24.
Logo
\mathbf{r}(2)=28\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}\quad(\text{m}).

Passo 6

Velocidade em t=2:
\mathbf{v}(2)=14\,\mathbf{i}+12\cdot 2\,\mathbf{j}=14\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}\quad(\text{m/s}).

Passo 7

Aceleração em t=2 (como vimos é constante):
\mathbf{a}(2)=12\,\mathbf{j}\quad(\text{m/s}^2).

Passo 8

Velocidade média nos primeiros dois segundos. Definição: a velocidade média em [t_1,t_2] é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
\overline{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
Aqui t_1=0 e t_2=2. Calculamos \mathbf{r}(0):
\mathbf{r}(0)=14\cdot 0\,\mathbf{i}+6\cdot 0^{2}\,\mathbf{j}=0.
Portanto o deslocamento \mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)=28\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}. Dividindo por 2:
\overline{\mathbf{v}}=\frac{28\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}}{2}=14\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}\quad(\text{m/s}).

Passo 9

Aceleração média nos primeiros dois segundos. Definição: aceleração média em [t_1,t_2] é a variação da velocidade sobre o intervalo de tempo:
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{v}(t_2)-\mathbf{v}(t_1)}{t_2-t_1}.
Temos \mathbf{v}(0)=14\,\mathbf{i}+12\cdot 0\,\mathbf{j}=14\,\mathbf{i}. Então
\mathbf{v}(2)-\mathbf{v}(0)=(14\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j})-(14\,\mathbf{i})=24\,\mathbf{j}.
Dividindo por 2:
\overline{\mathbf{a}}=\frac{24\,\mathbf{j}}{2}=12\,\mathbf{j}\quad(\text{m/s}^2).
Comentário de amizade: isso confirma a observação do Passo 4 — como a aceleração é constante, a aceleração média coincide com a aceleração instantânea.

Resposta

(i) \mathbf{r}(2)=28\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}\\ (\text{m}),\\ \mathbf{v}(2)=14\,\mathbf{i}+24\,\mathbf{j}\\ (\text{m/s}),\\ \mathbf{a}(2)=12\,\mathbf{j}\\ (\text{m/s}^2)
(ii) \overline{\mathbf{v}}=14\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}\\ (\text{m/s}),\\ \overline{\mathbf{a}}=12\,\mathbf{j}\\ (\text{m/s}^2)

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