Uma partícula de massa
é lançada do ponto A com uma velocidade inicial v perpendicular à linha OA e se move sob a ação da força central F dirigida para fora do centro de força O . Sabendo que a partícula segue uma trajetória definida pela equação (1), expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da partícula em função de
. Use a equação:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Uma partícula de massa
move-se em coordenadas polares em torno do centro . - É fornecida a relação conservada
- A trajetória é dada como função de
:
- O enunciado pede: expressar os componentes radial e transversal da velocidade
da partícula em função de . Ou seja, encontrar explicitamente e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os componentes da velocidade em coordenadas polares e por que eles têm essas formas.
- A posição em polares é
, onde depende do tempo e é o versor radial. - A velocidade é a derivada temporal da posição. Usando a regra do produto e a variação do versor, obtém-se a fórmula padrão:
Aqui:
-
é a componente radial da velocidade, que chamamos de . -
é a componente transversal (ou angular, ortogonal ao radial), que chamamos de .
Portanto, precisamos calcular
e
em função de
.
Passo 3
Como
é dado como função de
(isto é,
) e
, podemos usar a regra da cadeia para escrever
:
Também da relação conservada já temos
em termos de
:
Em resumo:
Passo 4
Agora derivamos
. Temos
Use a regra da cadeia para derivar:
Como
, temos
Os fatores
e
se cancelam, ficando
Passo 5
Agora substituímos
e
em
.
Primeiro calcule
a partir de
:
Portanto
Agora
Simplificando passo a passo: o fator
no segundo parêntese cancela uma potência no primeiro, e um
no numerador cancela parte de
no denominador. Assim obtemos
Passo 6
Agora calculamos
. Usamos
diretamente:
Substituindo
obtemos
Passo 7
Observações rápidas e úteis (para a prova):
- As expressões encontradas estão em termos de
e da constante (que está relacionada ao momento angular por unidade de massa). - Nota técnica: as fórmulas exigem
para real; isso define o intervalo angular onde a trajetória é fisicamente definida com a forma dada.