Uma partícula de massa m é lançada do ponto A com uma velocidade inicial v perpendicular à linha OA e se move sob a ação da força central F dirigida para fora do centro de força O . Sabendo que a partícula segue uma trajetória definida pela equação (1), expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da partícula em função de \theta. Use a equação:
r^{2} \dot{\theta}=h \quad \text { (1) } r=\frac{r_{0}}{\sqrt{\cos 2 \theta}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Uma partícula de massa m move-se em coordenadas polares em torno do centro O.
  • É fornecida a relação conservada
r^{2}\dot{\theta}=h.
  • A trajetória é dada como função de \theta:
r=\frac{r_{0}}{\sqrt{\cos 2\theta}}.
  • O enunciado pede: expressar os componentes radial e transversal da velocidade \mathbf{v} da partícula em função de \theta. Ou seja, encontrar explicitamente v_{r}(\theta) e v_{\theta}(\theta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os componentes da velocidade em coordenadas polares e por que eles têm essas formas.
  • A posição em polares é \mathbf{r}=r\,\hat{e}_{r}, onde r depende do tempo e \hat{e}_{r} é o versor radial.
  • A velocidade é a derivada temporal da posição. Usando a regra do produto e a variação do versor, obtém-se a fórmula padrão:
\mathbf{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}.
Aqui:
  • \dot{r} é a componente radial da velocidade, que chamamos de v_{r}.
  • r\dot{\theta} é a componente transversal (ou angular, ortogonal ao radial), que chamamos de v_{\theta}.
Portanto, precisamos calcular \dot{r} e r\dot{\theta} em função de \theta.

Passo 3

Como r é dado como função de \theta (isto é, r=r(\theta)) e \theta=\theta(t), podemos usar a regra da cadeia para escrever \dot{r}:
\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\,\dot{\theta}.
Também da relação conservada já temos \dot{\theta} em termos de r:
\dot{\theta}=\frac{h}{r^{2}}.
Em resumo:
v_{r}=\dot{r}=\frac{dr}{d\theta}\,\dot{\theta},\qquad v_{\theta}=r\dot{\theta}.

Passo 4

Agora derivamos r(\theta). Temos
r(\theta)=r_{0}\big(\cos 2\theta\big)^{-1/2}.
Use a regra da cadeia para derivar:
\frac{dr}{d\theta} = r_{0}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\big(\cos 2\theta\big)^{-3/2}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos 2\theta).
Como \dfrac{d}{d\theta}(\cos 2\theta)=-2\sin 2\theta, temos
\frac{dr}{d\theta} = r_{0}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\big(\cos 2\theta\big)^{-3/2}\cdot(-2\sin 2\theta).
Os fatores -\tfrac{1}{2} e -2 se cancelam, ficando
\frac{dr}{d\theta}=r_{0}\,\frac{\sin 2\theta}{\big(\cos 2\theta\big)^{3/2}}.

Passo 5

Agora substituímos \dfrac{dr}{d\theta} e \dot{\theta}=\dfrac{h}{r^{2}} em v_{r}=\dfrac{dr}{d\theta}\dot{\theta}.
Primeiro calcule r^{2} a partir de r(\theta):
r^{2}=\frac{r_{0}^{2}}{\cos 2\theta}.
Portanto
\dot{\theta}=\frac{h}{r^{2}}=\frac{h}{r_{0}^{2}}\,\cos 2\theta.
Agora
v_{r} =\frac{dr}{d\theta}\,\dot{\theta} = \left(r_{0}\,\frac{\sin 2\theta}{\big(\cos 2\theta\big)^{3/2}}\right)\left(\frac{h}{r_{0}^{2}}\,\cos 2\theta\right).
Simplificando passo a passo: o fator \cos 2\theta no segundo parêntese cancela uma potência no primeiro, e um r_{0} no numerador cancela parte de r_{0}^{2} no denominador. Assim obtemos
v_{r}=\frac{h}{r_{0}}\;\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}.

Passo 6

Agora calculamos v_{\theta}=r\dot{\theta}. Usamos \dot{\theta}=\dfrac{h}{r^{2}} diretamente:
v_{\theta}=r\dot{\theta}=r\cdot\frac{h}{r^{2}}=\frac{h}{r}.
Substituindo r=\dfrac{r_{0}}{\sqrt{\cos 2\theta}} obtemos
v_{\theta}=\frac{h}{\dfrac{r_{0}}{\sqrt{\cos 2\theta}}} =\frac{h}{r_{0}}\,\sqrt{\cos 2\theta}.

Passo 7

Observações rápidas e úteis (para a prova):
  • As expressões encontradas estão em termos de \theta e da constante h (que está relacionada ao momento angular por unidade de massa).
  • Nota técnica: as fórmulas exigem \cos 2\theta>0 para r real; isso define o intervalo angular onde a trajetória é fisicamente definida com a forma dada.

Resposta

v_{r}(\theta)=\dfrac{h}{r_{0}}\dfrac{\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\n
v_{\theta}(\theta)=\dfrac{h}{r_{0}}\sqrt{\cos 2\theta}

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