Uma partícula em \mathbb{R}^{3} está sujeita à força \mathbf{F}=(2,-3,1) \mathrm{N} aplicada no ponto \mathbf{r}=(1,1,0) \mathrm{m} \mathrm{em} relação à origem.
a) Calcule o torque \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F}.
b) Determine a magnitude do torque.
c) Qual é a direção do eixo de rotação (versor de \tau )?

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei estes dados do enunciado):
  • posição onde a força é aplicada: \mathbf{r}=(1,1,0)\\ \mathrm{m};
  • força aplicada: \mathbf{F}=(2,-3,1)\\ \mathrm{N}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular o torque \tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
b) Determinar a magnitude |\tau|.
c) Encontrar a direção do eixo de rotação (o versor de \tau).

Passo 2

O que é o torque aqui (mini-aula rápida): o torque \tau é o produto vetorial entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Propriedades úteis:
  • \tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F} é um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{F} (direção dada pela regra da mão direita).
  • A magnitude vale |\tau|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.
    Para calcular explicitamente as componentes é prático usar a forma determinantal (expansão por cofatores). Escreve-se:
\mathbf{r}\times\mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z, e r_x,r_y,r_z e F_x,F_y,F_z são as componentes de \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com \mathbf{r}=(1,1,0) e \mathbf{F}=(2,-3,1). Faço a expansão do determinante componente a componente:
\tau_x = \begin{vmatrix} r_y & r_z \\\ F_y & F_z \end{vmatrix} = r_y F_z - r_z F_y,
\tau_y = - \begin{vmatrix} r_x & r_z \\\ F_x & F_z \end{vmatrix} = -(r_x F_z - r_z F_x),
\tau_z = \begin{vmatrix} r_x & r_y \\\ F_x & F_y \end{vmatrix} = r_x F_y - r_y F_x.
Agora substituo números:
  • r_x=1,\; r_y=1,\; r_z=0.
  • F_x=2,\; F_y=-3,\; F_z=1.
Calculemos cada componente:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = 1\cdot 1 - 0\cdot(-3) = 1,
\tau_y = -(r_x F_z - r_z F_x) = -(1\cdot 1 - 0\cdot 2) = -1,
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = 1\cdot(-3) - 1\cdot 2 = -3 - 2 = -5.
Portanto
\mathbf{\tau} = (1,-1,-5)\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}.

Passo 4

Agora a magnitude |\tau|. Para um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) vale |\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Então:
|\tau|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}.
Simplificando \sqrt{27}=3\sqrt{3}. Em valor aproximado (se precisar): 3\sqrt{3}\approx 5{,}196.

Passo 5

Direção (versor) de \tau. O versor \hat{\tau} é o vetor \tau dividido pela sua magnitude:
\hat{\tau}=\frac{\mathbf{\tau}}{|\tau|}=\frac{1}{\sqrt{27}}(1,-1,-5)=\frac{1}{3\sqrt{3}}(1,-1,-5).
Esse vetor tem norma 1 e aponta na direção do eixo de rotação; o sentido (positivo ou negativo) segue a regra da mão direita aplicada a \mathbf{r} cruz \mathbf{F}.

Resposta

a) \mathbf{\tau}=(1,-1,-5)\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}
b) |\tau|=3\sqrt{3}\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}\approx 5{,}196\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}
c) \hat{\tau}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}(1,-1,-5)

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