Uma partícula em \mathbb{R}^{3} está sujeita à força \mathbf{F}=(2,-3,1) \mathrm{N} aplicada no ponto \mathbf{r}=(1,1,0) \mathrm{m} \mathrm{em} relação à origem.
a) Calcule o torque \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F}.
b) Determine a magnitude do torque.
c) Qual é a direção do eixo de rotação (versor de \tau )?
Passo 1
O enunciado dá os vetores (peguei estes dados do enunciado):
posição onde a força é aplicada: \mathbf{r}=(1,1,0)\\ \mathrm{m};
força aplicada: \mathbf{F}=(2,-3,1)\\ \mathrm{N}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular o torque \tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
b) Determinar a magnitude |\tau|.
c) Encontrar a direção do eixo de rotação (o versor de \tau).
Passo 2
O que é o torque aqui (mini-aula rápida): o torque \tau é o produto vetorial entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Propriedades úteis:
\tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F} é um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{F} (direção dada pela regra da mão direita).
A magnitude vale |\tau|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.
Para calcular explicitamente as componentes é prático usar a forma determinantal (expansão por cofatores). Escreve-se:
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z, e r_x,r_y,r_z e F_x,F_y,F_z são as componentes de \mathbf{r} e \mathbf{F}.
Passo 3
Aplicando a fórmula com \mathbf{r}=(1,1,0) e \mathbf{F}=(2,-3,1). Faço a expansão do determinante componente a componente:
Esse vetor tem norma 1 e aponta na direção do eixo de rotação; o sentido (positivo ou negativo) segue a regra da mão direita aplicada a \mathbf{r} cruz \mathbf{F}.
Resposta
a) \mathbf{\tau}=(1,-1,-5)\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}
b) |\tau|=3\sqrt{3}\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}\approx 5{,}196\\ \mathrm{N\!\cdot\!m}
c) \hat{\tau}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}(1,-1,-5)