Uma partícula P se desloca sob um plano cujo sistema de coordenadas é \left\{e_{1}, e_{2}\right\}, onde e_{1}=(-1,0,2) e e_{2}=(4,2,-2). Num instante t_{0} (em segundos) a partícula está na posição P_{0}=(4,3,1) (em metros). Determina os parâmetros a e b de modo que, no instante t_{0}, se tenha P_{0}=a e_{1}+b e_{2}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo retirado do enunciado):
e_{1}=(-1,0,2).
e_{2}=(4,2,-2).
P_{0}=(4,3,1).
O que se pede: determinar os escalares a e b tais que
P_{0}=a e_{1}+b e_{2}.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método): quando se quer escrever um vetor como combinação linear de outros vetores, escreve-se
a e_{1}+b e_{2}=(\text{componente}_1,\text{componente}_2,\text{componente}_3)
e iguala-se cada componente ao vetor alvo componente a componente. Isso gera um sistema de equações lineares nas incógnitas a e b. Resolver esse sistema (por substituição ou eliminação) dá os valores de a e b.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto, escrevemos a combinação e igualamos componentes:
a(-1,0,2)+b(4,2,-2)=(4,3,1).
Igualando componente a componente obtemos o sistema
Resolver a equação mais simples primeiro: da segunda equação segue
2b=3 \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{3}{2}.
Explicando: aqui bastou isolar b, dividindo ambos os lados por 2. Usar frações mantém os cálculos exatos e é recomendável quando se faz prova sem calculadora.
Passo 5
Substituir b=\dfrac{3}{2} na terceira equação para encontrar a:
Verificação rápida (importante em prova): substituir a=2 e b=\dfrac{3}{2} na primeira equação:
-a+4b = -2 + 4\cdot\frac{3}{2} = -2 + 6 = 4,
que coincide com o valor exigido, então os valores estão corretos.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre iguale componente a componente, procure primeiro por equações que já isolam uma incógnita (como a segunda equação aqui) e use substituição. Trabalhar com frações exatas evita erros de arredondamento. Se houver mais incógnitas, o mesmo princípio vale—monta-se o sistema e usa-se eliminação ou substituição.