Uma partícula tem aceleração \mathbf{a}(t)=(6 t, 2,-\sin t), \operatorname{com} \mathbf{v}(0)=(1,0,2) e \mathbf{r}(0)=(0,1,0).
a) Encontre \mathbf{v}(t) e \mathbf{r}(t).
b) Calcule a posição no instante t=\pi.
c) Calcule o comprimento de arco de t=0 a t=1: L=\int_{0}^{1}\|\mathbf{v}(t)\| d t.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados iniciais:
  • A aceleração vetorial: \mathbf{a}(t)=(6t,\,2,\,-\sin t).
  • A velocidade inicial: \mathbf{v}(0)=(1,0,2).
  • A posição inicial: \mathbf{r}(0)=(0,1,0).
O que nos pedem:
(a) Encontrar \mathbf{v}(t) e \mathbf{r}(t).
(b) Calcular a posição no instante t=\pi, isto é \mathbf{r}(\pi).
(c) Calcular o comprimento de arco entre t=0 e t=1,
L=\int_{0}^{1}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt.

Passo 2

Como \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t), obtemos \mathbf{v}(t) integrando componente a componente a aceleração. Lembrete rápido: integrar componente a componente significa achar antiderivadas das funções escalares que formam o vetor e somar uma constante (vetor) de integração determinada pela condição inicial.
Integramos em cada componente:
  • Para a componente x: \displaystyle \int 6t\,dt = 3t^{2} + C_{1}.
  • Para a componente y: \displaystyle \int 2\,dt = 2t + C_{2}.
  • Para a componente z: \displaystyle \int -\sin t\,dt = \cos t + C_{3} (note que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, logo a antiderivada de -\sin t é \cos t).
Assim:
\mathbf{v}(t) = \bigl(3t^{2}+C_{1},\;2t+C_{2},\;\cos t + C_{3}\bigr).
Usamos \mathbf{v}(0)=(1,0,2) para determinar as constantes C_{1},C_{2},C_{3}. Avaliando em t=0:
\mathbf{v}(0) = (C_{1},\,C_{2},\,1 + C_{3}) = (1,0,2).
Dessas igualdades segue C_{1}=1, C_{2}=0, 1 + C_{3}=2 \Rightarrow C_{3}=1.
Portanto:
\boxed{\mathbf{v}(t)=\bigl(3t^{2}+1,\;2t,\;\cos t +1\bigr).}

Passo 3

Agora \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Para obter \mathbf{r}(t) integramos cada componente de \mathbf{v}(t) e usamos \mathbf{r}(0) para achar as constantes.
Integração por componentes:
  • x: \displaystyle \int (3t^{2}+1)\,dt = t^{3}+t + A_{1}.
  • y: \displaystyle \int 2t\,dt = t^{2} + A_{2}.
  • z: \displaystyle \int (\cos t +1)\,dt = \sin t + t + A_{3} (pois \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t).
Logo
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{3}+t + A_{1},\;t^{2}+A_{2},\;\sin t + t + A_{3}\bigr).
Usamos \mathbf{r}(0)=(0,1,0). Avaliando em t=0:
\mathbf{r}(0)=(A_{1},\,A_{2},\,A_{3})=(0,1,0).
Assim A_{1}=0, A_{2}=1, A_{3}=0.
Portanto:
\boxed{\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{3}+t,\;t^{2}+1,\;\sin t + t\bigr).}

Passo 4

Calculamos \mathbf{r}(\pi) substituindo t=\pi em \mathbf{r}(t).
Componentes:
  • x(\pi)=\pi^{3}+\pi.
  • y(\pi)=\pi^{2}+1.
  • z(\pi)=\sin\pi + \pi = 0 + \pi = \pi (porque \sin\pi=0).
Logo:
\boxed{\mathbf{r}(\pi)=\bigl(\pi^{3}+\pi,\;\pi^{2}+1,\;\pi\bigr).}

Passo 5

Agora o comprimento de arco de t=0 a t=1 é dado por
L=\int_{0}^{1}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt,
onde \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(3t^{2}+1)^{2}+(2t)^{2}+(\cos t +1)^{2}}.
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz (isto facilita entender o integrando):
\begin{aligned} \|\mathbf{v}(t)\|^{2} &=(3t^{2}+1)^{2} + 4t^{2} + (\cos t +1)^{2}\\\ &=9t^{4}+6t^{2}+1 + 4t^{2} + (\cos^{2}t + 2\cos t +1)\\\ &=9t^{4}+10t^{2} + \cos^{2}t + 2\cos t + 2. \end{aligned}
Portanto
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{9t^{4}+10t^{2} + \cos^{2}t + 2\cos t + 2}.
Observação: essa função não tem uma primitiva expressável em termos de funções elementares simples, então calcular L em forma fechada não é prático. Procedemos com uma aproximação numérica razoável que pode ser feita à mão com regra de Simpson (método numérico clássico e rápido para integrais definidas). Vou aplicar a regra de Simpson com n=4 subintervalos (passo h=\tfrac{1}{4}), que costuma dar boa precisão.
Definindo f(t)=\|\mathbf{v}(t)\|. Os pontos e valores necessários:
t_{0}=0,\;t_{1}=0{,}25,\;t_{2}=0{,}5,\;t_{3}=0{,}75,\;t_{4}=1.
Calculamos f(t_{i}) (aqui usei valores de \cos t conhecidos com 6 dígitos para boa precisão):
  • f(0)=\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}236067978.
  • Para t=0{,}25: 3t^{2}+1=1{,}1875,\;2t=0{,}5,\;\cos 0{,}25\approx 0{,}968912422 então \cos t+1\approx 1{,}968912422. Assim f(0{,}25)\approx 2{,}352206.
  • Para t=0{,}5: 3t^{2}+1=1{,}75,\;2t=1,\;\cos 0{,}5\approx 0{,}877582562 então \cos t+1\approx 1{,}877582562. Assim f(0{,}5)\approx 2{,}754149.
  • Para t=0{,}75: 3t^{2}+1=2{,}6875,\;2t=1{,}5,\;\cos 0{,}75\approx 0{,}731688869 então \cos t+1\approx 1{,}731688869. Assim f(0{,}75)\approx 3{,}531365.
  • Para t=1: 3t^{2}+1=4,\;2t=2,\;\cos 1\approx 0{,}540302306 então \cos t+1\approx 1{,}540302306. Assim f(1)\approx 4{,}730366.
Aplicando a regra de Simpson ( h=\tfrac{1}{4}):
L \approx \frac{h}{3}\bigl(f(t_{0}) + 4f(t_{1}) + 2f(t_{2}) + 4f(t_{3}) + f(t_{4})\bigr).
Substituindo os valores numéricos:
L \approx \frac{0{,}25}{3}\bigl(2{,}236068 + 4\cdot 2{,}352206 + 2\cdot 2{,}754149 + 4\cdot 3{,}531365 + 4{,}730366\bigr).
Calculando a soma interior obtemos aproximadamente 36{,}009015. Multiplicando por \tfrac{0{,}25}{3} resulta
L \approx 3{,}00075\\ \text{(aproximadamente)}.
Portanto, com boa precisão pela regra de Simpson com n=4, o comprimento de arco entre 0 e 1 é aproximadamente 3{,}0008. (Se for necessário mais dígitos, pode-se refinar com mais subintervalos numéricos.)

Resposta

\mathbf{v}(t)=\bigl(3t^{2}+1,\;2t,\;\cos t +1\bigr)
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{3}+t,\;t^{2}+1,\;\sin t + t\bigr)
\mathbf{r}(\pi)=\bigl(\pi^{3}+\pi,\;\pi^{2}+1,\;\pi\bigr)
L\approx 3{,}00075

Exercícios relacionados