Uma partícula tem aceleração
e
.
a) Encontre
e
.
b) Calcule a posição no instante
.
c) Calcule o comprimento de arco de
a
.
a) Encontre
b) Calcule a posição no instante
c) Calcule o comprimento de arco de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados iniciais:
- A aceleração vetorial:
. - A velocidade inicial:
. - A posição inicial:
.
O que nos pedem:
(a) Encontrar e
.
(b) Calcular a posição no instante , isto é
.
(c) Calcular o comprimento de arco entre e
,
(a) Encontrar
(b) Calcular a posição no instante
(c) Calcular o comprimento de arco entre
Passo 2
Como
, obtemos
integrando componente a componente a aceleração. Lembrete rápido: integrar componente a componente significa achar antiderivadas das funções escalares que formam o vetor e somar uma constante (vetor) de integração determinada pela condição inicial.
Integramos em cada componente:
- Para a componente
: . - Para a componente
: . - Para a componente
: (note que , logo a antiderivada de é ).
Assim:
Usamos
para determinar as constantes
. Avaliando em
:
Dessas igualdades segue
,
,
.
Portanto:
Passo 3
Agora
. Para obter
integramos cada componente de
e usamos
para achar as constantes.
Integração por componentes:
-
: . -
: . -
: (pois ).
Logo
Usamos
. Avaliando em
:
Assim
,
,
.
Portanto:
Passo 4
Calculamos
substituindo
em
.
Componentes:
-
. -
. -
(porque ).
Logo:
Passo 5
Agora o comprimento de arco de
a
é dado por
onde
.
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz (isto facilita entender o integrando):
Portanto
Observação: essa função não tem uma primitiva expressável em termos de funções elementares simples, então calcular
em forma fechada não é prático. Procedemos com uma aproximação numérica razoável que pode ser feita à mão com regra de Simpson (método numérico clássico e rápido para integrais definidas). Vou aplicar a regra de Simpson com
subintervalos (passo
), que costuma dar boa precisão.
Definindo
. Os pontos e valores necessários:
Calculamos
(aqui usei valores de
conhecidos com 6 dígitos para boa precisão):
-
- Para
: então . Assim . - Para
: então . Assim . - Para
: então . Assim . - Para
: então . Assim .
Aplicando a regra de Simpson (
):
Substituindo os valores numéricos:
Calculando a soma interior obtemos aproximadamente
. Multiplicando por
resulta
Portanto, com boa precisão pela regra de Simpson com
, o comprimento de arco entre
e
é aproximadamente
. (Se for necessário mais dígitos, pode-se refinar com mais subintervalos numéricos.)