A partir do Príncipio da Boa Ordem estabelecer, para
, as seguintes identidades:
Passo 1
O que o enunciado pede: estabelecer, usando o Princípio da Boa Ordem, que para todo
vale a identidade
Informações dadas e clarificações úteis:
- A variável
é um número natural, isto é, . - Temos à disposição o Princípio da Boa Ordem (PBO) para
. - Não há mais condições ocultas no enunciado; a missão é provar a igualdade para todo
.
Passo 2
O que é o Princípio da Boa Ordem (PBO) e como ele funciona (aula curta):\n
O PBO diz que toda parte não vazia de tem um menor elemento. Em palavras mais simples: se você pega qualquer coleção de números naturais e essa coleção não é vazia, existe um elemento nessa coleção que é menor do que todos os outros dessa coleção. Esse princípio é muito útil para provas por mínimo contraexemplo: suponha que exista algum
para o qual uma certa propriedade não vale; então a coleção dos contraexemplos teria um menor elemento, e a partir disso muitas vezes conseguimos chegar a uma contradição mostrando que esse menor elemento também satisfaz a propriedade. Assim provamos que não existem contraexemplos, isto é, a propriedade vale para todos os naturais.
O PBO diz que toda parte não vazia de
Passo 3
Estratégia concreta (sem resolver ainda): vamos aplicar a técnica do “menor contraexemplo” baseada no PBO. Primeiro verificamos rapidamente a propriedade no caso inicial mais simples (caso base). Depois, supondo que exista algum contraexemplo, usamos o PBO para escolher o menor contraexemplo
e mostramos que isso leva a uma contradição porque a propriedade deverá valer para
também, usando que ela vale para
.
Passo 4
Verificação do caso base:
.\n
Calcule o lado esquerdo para : ele é
.\n
Calcule o lado direito para : ele é
Calcule o lado esquerdo para
Calcule o lado direito para
Portanto a identidade é verdadeira para
. Isso mostra o caso base.
Passo 5
Montagem do argumento por mínimo contraexemplo (uso do PBO).\n
Defina o conjunto dos contraexemplos
Defina o conjunto dos contraexemplos
Suponha, por contradição, que
seja não vazio. Pelo PBO,
tem um menor elemento; chame esse menor elemento de
. Pelo item anterior sabemos que
, então
. Como
é o menor elemento de
, todos os naturais estritamente menores que
não pertencem a
; em particular,
. Isso significa que a identidade vale para
, ou seja,
Passo 6
A contradição: calcular a soma até
usando o caso
.\n
Somando aos dois lados da igualdade válida para
obtemos
Somando
Agora simplificamos o lado direito passo a passo. Primeiro escrevemos
com denominador
:
Somando as frações:
Logo
Isso mostra que a identidade vale para
, o que contradiz a hipótese de que
(lembre:
foi o conjunto dos índices onde a identidade falha). Portanto a suposição de que
é não vazio é absurda.
Passo 7
Conclusão final do argumento.\n
Como a hipótese de existência de contraexemplos levou a uma contradição, concluímos que é vazio. Isso significa que não existe
tal que a identidade falhe. Assim a identidade é verdadeira para todo
.
Como a hipótese de existência de contraexemplos levou a uma contradição, concluímos que