A partir do Príncipio da Boa Ordem estabelecer, para n \in \mathbb{N}, as seguintes identidades:
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} ; n \in \mathbb{N}

Passo 1

O que o enunciado pede: estabelecer, usando o Princípio da Boa Ordem, que para todo n \in \mathbb{N} vale a identidade
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Informações dadas e clarificações úteis:
  • A variável n é um número natural, isto é, n\in\mathbb{N}.
  • Temos à disposição o Princípio da Boa Ordem (PBO) para \mathbb{N}.
  • Não há mais condições ocultas no enunciado; a missão é provar a igualdade para todo n.

Passo 2

O que é o Princípio da Boa Ordem (PBO) e como ele funciona (aula curta):\n
O PBO diz que toda parte não vazia de \mathbb{N} tem um menor elemento. Em palavras mais simples: se você pega qualquer coleção de números naturais e essa coleção não é vazia, existe um elemento nessa coleção que é menor do que todos os outros dessa coleção. Esse princípio é muito útil para provas por mínimo contraexemplo: suponha que exista algum n para o qual uma certa propriedade não vale; então a coleção dos contraexemplos teria um menor elemento, e a partir disso muitas vezes conseguimos chegar a uma contradição mostrando que esse menor elemento também satisfaz a propriedade. Assim provamos que não existem contraexemplos, isto é, a propriedade vale para todos os naturais.

Passo 3

Estratégia concreta (sem resolver ainda): vamos aplicar a técnica do “menor contraexemplo” baseada no PBO. Primeiro verificamos rapidamente a propriedade no caso inicial mais simples (caso base). Depois, supondo que exista algum contraexemplo, usamos o PBO para escolher o menor contraexemplo m e mostramos que isso leva a uma contradição porque a propriedade deverá valer para m também, usando que ela vale para m-1.

Passo 4

Verificação do caso base: n=1.\n
Calcule o lado esquerdo para n=1: ele é 1.\n
Calcule o lado direito para n=1: ele é
\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1.
Portanto a identidade é verdadeira para n=1. Isso mostra o caso base.

Passo 5

Montagem do argumento por mínimo contraexemplo (uso do PBO).\n
Defina o conjunto dos contraexemplos
S=\{\,k\in\mathbb{N}\mid 1+2+\cdots+k \neq \tfrac{k(k+1)}{2}\,\}.
Suponha, por contradição, que S seja não vazio. Pelo PBO, S tem um menor elemento; chame esse menor elemento de m. Pelo item anterior sabemos que 1\notin S, então m\ge 2. Como m é o menor elemento de S, todos os naturais estritamente menores que m não pertencem a S; em particular, m-1\notin S. Isso significa que a identidade vale para m-1, ou seja,
1+2+\cdots+(m-1)=\frac{(m-1)m}{2}.

Passo 6

A contradição: calcular a soma até m usando o caso m-1.\n
Somando m aos dois lados da igualdade válida para m-1 obtemos
1+2+\cdots+(m-1)+m=\frac{(m-1)m}{2}+m.
Agora simplificamos o lado direito passo a passo. Primeiro escrevemos m com denominador 2:
\frac{(m-1)m}{2}+m=\frac{(m-1)m}{2}+\frac{2m}{2}.
Somando as frações:
\frac{(m-1)m+2m}{2}=\frac{m(m-1+2)}{2}=\frac{m(m+1)}{2}.
Logo
1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}.
Isso mostra que a identidade vale para m, o que contradiz a hipótese de que m\in S (lembre: S foi o conjunto dos índices onde a identidade falha). Portanto a suposição de que S é não vazio é absurda.

Passo 7

Conclusão final do argumento.\n
Como a hipótese de existência de contraexemplos levou a uma contradição, concluímos que S é vazio. Isso significa que não existe k\in\mathbb{N} tal que a identidade falhe. Assim a identidade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

Exercícios relacionados