A partir do Príncipio da Boa Ordem mostrar que n^{2}+n+1 ; n \in \mathbb{Z} é impar.

Passo 1

O enunciado dá a expressão n^{2}+n+1 com n\in\mathbb{Z} e pede para mostrar que esse número é ímpar para todo inteiro n.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável n é um inteiro qualquer, ou seja n\in\mathbb{Z}.
  • A propriedade a ser provada é: “o número n^{2}+n+1 é ímpar” para todo n\in\mathbb{Z}.\n
    Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é dado e o que precisa ser mostrado.

Passo 2

Vou usar o Princípio da Boa Ordem (PBO). Vou primeiro lembrar o que ele diz de forma simples: todo subconjunto não vazio de \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} tem um menor elemento. Esta é a ferramenta que vamos aplicar por contradição: assumimos que existe algum inteiro que falsifica o que queremos provar e, a partir daí, construímos um subconjunto de \mathbb{N} não vazio; pelo PBO escolhemos seu menor elemento e mostramos que isso leva a uma contradição.

Passo 3

Definições importantes que vou usar (bem explícitas):
  • Dizemos que um inteiro k é par se existe t\in\mathbb{Z} tal que k=2t.
  • Dizemos que um inteiro k é ímpar se existe t\in\mathbb{Z} tal que k=2t+1.
  • Note que, em particular, se dois números diferem por um número par então eles têm a mesma paridade (ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares). Em termos simples: adicionar ou subtrair um múltiplo de 2 não muda se o número é par ou ímpar.

Passo 4

Suponha, por contradição, que exista algum inteiro n tal que n^{2}+n+1 seja par. Definimos o conjunto
S=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n^{2}+n+1 \text{ é par}\,\}.é
Se S for vazio estamos feitos (não existe inteiro que torne a expressão par, logo ela é sempre ímpar). Então suponha S\neq\varnothing.

Passo 5

Para usar o PBO, quero trabalhar com um subconjunto de \mathbb{N}. Observe a identidade (vou mostrar que ela preserva o valor da expressão):
(-n-1)^{2}+(-n-1)+1 = n^{2}+n+1.
Cálculo detalhado:
(-n-1)^{2}+(-n-1)+1 = (n+1)^{2}-(n+1)+1 = n^{2}+2n+1-n-1+1 = n^{2}+n+1.
Portanto, a expressão n^{2}+n+1 tem o mesmo valor para n e para -n-1. Em particular, para todo n\in\mathbb{Z}, pelo menos um entre n e -n-1 é um número não negativo (está em \mathbb{N}). Logo, se existe n\in S então existe algum m\in\mathbb{N} tal que m^{2}+m+1 é par.

Passo 6

Definimos então o subconjunto de \mathbb{N}
T=\{\,m\in\mathbb{N}\mid m^{2}+m+1 \text{ é par}\,\}.é
Pelo argumento do passo anterior, S\neq\varnothing implica T\neq\varnothing. Pelo Princípio da Boa Ordem, T tem um menor elemento; seja m_{0} o menor elemento de T.

Passo 7

Vamos estudar m_{0}. Primeiro, verifique o caso m_{0}=0. Substituindo:
0^{2}+0+1=1,
que é ímpar. Logo 0\notin T. Portanto m_{0}\neq 0, isto é, m_{0}\ge 1.

Passo 8

Agora considere m_{0}-1 (que é um número natural porque m_{0}\ge1). Calcule a expressão para m_{0}-1:
(m_{0}-1)^{2}+(m_{0}-1)+1 = m_{0}^{2}-m_{0}+1.
Reescrevendo em relação a m_{0}^{2}+m_{0}+1 obtemos
m_{0}^{2}-m_{0}+1 = (m_{0}^{2}+m_{0}+1) - 2m_{0}.
Aqui -2m_{0} é um número par (é múltiplo de 2), então a diferença entre m_{0}^{2}+m_{0}+1 e m_{0}^{2}-m_{0}+1 é par. Portanto m_{0}^{2}-m_{0}+1 e m_{0}^{2}+m_{0}+1 têm a mesma paridade. Pelas hipóteses, m_{0}^{2}+m_{0}+1 é par; logo m_{0}^{2}-m_{0}+1 também é par.

Passo 9

Assim m_{0}-1 pertence a T. Mas isso contradiz a escolha de m_{0} como o menor elemento de T, porque m_{0}-1<m_{0} e m_{0}-1\in T. Essa contradição mostra que a hipótese T\neq\varnothing está errada.

Passo 10

Voltando, a contradição implica que T=\varnothing. Pelo passo 5 isso implica S=\varnothing. Ou seja, não existe inteiro n tal que n^{2}+n+1 seja par. Portanto, para todo n\in\mathbb{Z}, n^{2}+n+1 é ímpar. Você conseguiu — a ideia central foi usar o PBO para pegar um mínimo e diminuir, chegando à contradição.

Resposta

\forall n\in\mathbb{Z},\; n^{2}+n+1 é ímpar.

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