A partir do Príncipio da Boa Ordem mostrar que
é impar.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
com
e pede para mostrar que esse número é ímpar para todo inteiro
.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável
é um inteiro qualquer, ou seja . - A propriedade a ser provada é: “o número
é ímpar” para todo .\n
Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é dado e o que precisa ser mostrado.
Passo 2
Vou usar o Princípio da Boa Ordem (PBO). Vou primeiro lembrar o que ele diz de forma simples: todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Esta é a ferramenta que vamos aplicar por contradição: assumimos que existe algum inteiro que falsifica o que queremos provar e, a partir daí, construímos um subconjunto de
não vazio; pelo PBO escolhemos seu menor elemento e mostramos que isso leva a uma contradição.
Passo 3
Definições importantes que vou usar (bem explícitas):
- Dizemos que um inteiro
é par se existe tal que . - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe tal que . - Note que, em particular, se dois números diferem por um número par então eles têm a mesma paridade (ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares). Em termos simples: adicionar ou subtrair um múltiplo de
não muda se o número é par ou ímpar.
Passo 4
Suponha, por contradição, que exista algum inteiro
tal que
seja par. Definimos o conjunto
Se
for vazio estamos feitos (não existe inteiro que torne a expressão par, logo ela é sempre ímpar). Então suponha
.
Passo 5
Para usar o PBO, quero trabalhar com um subconjunto de
. Observe a identidade (vou mostrar que ela preserva o valor da expressão):
Cálculo detalhado:
Portanto, a expressão
tem o mesmo valor para
e para
. Em particular, para todo
, pelo menos um entre
e
é um número não negativo (está em
). Logo, se existe
então existe algum
tal que
é par.
Passo 6
Definimos então o subconjunto de
Pelo argumento do passo anterior,
implica
. Pelo Princípio da Boa Ordem,
tem um menor elemento; seja
o menor elemento de
.
Passo 7
Vamos estudar
. Primeiro, verifique o caso
. Substituindo:
que é ímpar. Logo
. Portanto
, isto é,
.
Passo 8
Agora considere
(que é um número natural porque
). Calcule a expressão para
:
Reescrevendo em relação a
obtemos
Aqui
é um número par (é múltiplo de
), então a diferença entre
e
é par. Portanto
e
têm a mesma paridade. Pelas hipóteses,
é par; logo
também é par.
Passo 9
Assim
pertence a
. Mas isso contradiz a escolha de
como o menor elemento de
, porque
e
. Essa contradição mostra que a hipótese
está errada.
Passo 10
Voltando, a contradição implica que
. Pelo passo 5 isso implica
. Ou seja, não existe inteiro
tal que
seja par. Portanto, para todo
,
é ímpar. Você conseguiu — a ideia central foi usar o PBO para pegar um mínimo e diminuir, chegando à contradição.