Um peça na forma de copo deve ser extrudada a ré a partir de um tarugo de alumínio de 50 mm de diâmetro. As dimensões finais do copo são: diâmetro externo =50 \mathrm{~mm}, diâmetro interno = 40 mm , altura =100 \mathrm{~mm} e espessura do fundo =5 \mathrm{~mm}. Determine (a) a razão de extrusão, (b) o fator de forma, e (c) a altura do tarugo de partida para atingir as dimensões finais. (d) Se o metal tiver uma curva de escoamento com os parâmetros K=400 \mathrm{MPa} e n=0,25, e as constantes na equação de deformação de extrusão de Johnson forem: a=0,8 e b=1,5, determine a força de extrusão.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para uma peça em forma de copo produzida por extrusão reversa (a ré) a partir de um tarugo de alumínio de diâmetro 50\\ \mathrm{mm}:
  • Perguntas:
    (a) Determinar a razão de extrusão.
    (b) Determinar o fator de forma.
    (c) Determinar a altura do tarugo de partida.
    (d) Determinar a força de extrusão usando a curva de escoamento e a equação de Johnson dadas.
  • Dados fornecidos:
    \text{diâmetro do tarugo inicial} = 50\\ \mathrm{mm},â
\text{diâmetro externo final do copo} = 50\\ \mathrm{mm},â
\text{diâmetro interno final do copo} = 40\\ \mathrm{mm},â
\text{altura do copo} = 100\\ \mathrm{mm},
\text{espessura do fundo} = 5\\ \mathrm{mm}.
  • Dados para a força (curva de escoamento e Johnson): K = 400\\ \mathrm{MPa},\quad n = 0{,}25,
a = 0{,}8,\quad b = 1{,}5.
Observação: vamos assumir que a razão de extrusão é definida por \displaystyle R=\frac{A_0}{A_f}, onde A_0 é a área da seção do tarugo inicial e A_f é a área da seção do extrudado (a área da parede anular do copo). Além disso usaremos conservação de volume para achar a altura do tarugo. A fórmula de Johnson que usaremos para a pressão média de extrusão é a forma com os parâmetros a,b dada por
p = K\bigl(a\ln R + b\bigr)^n,
pois o enunciado forneceu a e b nesta forma (comentarei a interpretação nas etapas seguintes).

Passo 2

Calcular as áreas necessárias e a razão de extrusão.
  • Área da seção do tarugo inicial (diâmetro 50\\ \mathrm{mm}, raio R_0=25\\ \mathrm{mm}):
A_0 = \pi R_0^2 = \pi\,(25)^2 = 625\pi\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área da seção do extrudado (parede anular do copo): a parede corresponde à diferença entre a área do círculo externo ( R_{\text{ext}}=25\\ \mathrm{mm}) e a área do círculo interno ( R_{\text{int}}=20\\ \mathrm{mm}):
A_f = \pi\bigl(25^2-20^2\bigr) = \pi(625-400) = 225\pi\\ \mathrm{mm}^2.
  • Razão de extrusão \displaystyle R=\frac{A_0}{A_f}:
R = \frac{625\pi}{225\pi} = \frac{625}{225} = \frac{25}{9} \approx 2{,}7778.
Aqui eu usei as fórmulas elementares de área de círculo e a definição de razão de extrusão como razão de áreas transversais. Essas áreas aparecem porque, em extrusão contínua, a área do tarugo que atravessa a matriz é reduzida até a área do produto extrudado.

Passo 3

Determinar o fator de forma. Explicação didática do que vou chamar aqui de “fator de forma”:
  • Em processos de conformação por extrusão é comum usar a deformação verdadeira (ou “strain” verdadeiro) definida por
\varepsilon = \ln\!\left(\frac{A_0}{A_f}\right) = \ln R.
Esse \varepsilon é a medida adimensional da intensidade da deformação no processo e muitas relações constitutivas usam \ln R. Vou tomar como “fator de forma” exatamente esse \ln R (isto é bastante comum em exercícios deste tipo).
  • Cálculo:
\ln R = \ln\!\left(\frac{25}{9}\right) \approx 1{,}021651.
Comentário didático: \varepsilon=\ln(A_0/A_f) vem da definição de deformação verdadeira para redução de área: se uma seção inicial A_0 é reduzida para A_f, a deformação verdadeira acumulada é \ln(A_0/A_f). Esse valor é usado na lei de fluência do tipo potência \sigma = K\varepsilon^n.

Passo 4

Determinar a altura do tarugo (conservação de volume). Explicação e passos detalhados:
  • Princípio usado: o volume do material antes da conformação é igual ao volume do material depois (hipótese de incompressibilidade do metal durante conformação a frio/quente usualmente adotada). Logo
V_{\text{tarugo}} = V_{\text{copo}}.
  • Volume do tarugo (seção A_0 e altura h_0):
V_{\text{tarugo}} = A_0\,h_0 = 625\pi\,h_0\\ \mathrm{mm}^3.
  • Volume final do copo: é o volume do cilindro externo de diâmetro 50\\ \mathrm{mm} e altura 100\\ \mathrm{mm} menos o volume do vazio interno (diâmetro 40\\ \mathrm{mm}) que tem altura igual à altura do copo menos a espessura do fundo (o vazio não atravessa o fundo). Assim:
    • Volume do cilindro externo:
    V_{\text{ext}} = \pi (25)^2 \cdot 100 = 625\pi \cdot 100 = 62500\pi\\ \mathrm{mm}^3.
    • O vazio interno tem raio 20\\ \mathrm{mm} e altura 100 - 5 = 95\\ \mathrm{mm}:
    V_{\text{vazio}} = \pi (20)^2 \cdot 95 = 400\pi \cdot 95 = 38000\pi\\ \mathrm{mm}^3.
    • Volume do copo:
    V_{\text{copo}} = V_{\text{ext}} - V_{\text{vazio}} = (62500\pi - 38000\pi) = 24500\pi\\ \mathrm{mm}^3.
  • Igualando volumes para achar h_0:
625\pi\,h_0 = 24500\pi \quad\Longrightarrow\quad h_0 = \frac{24500\pi}{625\pi} = \frac{24500}{625} = 39{,}2\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o tarugo inicial tem altura relativamente pequena ( 39{,}2\\ \mathrm{mm}) porque o copo final é “alto e oco”, então boa parte do volume final está em paredes finas.

Passo 5

Determinar a força de extrusão usando a curva de escoamento e a equação de Johnson dada. Vou explicar a escolha da fórmula e os passos de cálculo.
  • Modelo de material: curva de escoamento do tipo lei de potência (Lei de Hollomon/fluência):
\sigma = K\,\varepsilon^n,
onde \sigma é tensão média de fluxo para uma deformação verdadeira \varepsilon, K é a constante de resistência (em \mathrm{MPa}) e n é o expoente de encruamento.
  • Para extrusão o enunciado deu constantes a e b associadas à equação de Johnson. O enunciado forneceu explicitamente a e b e pediu a força; por isso adotamos a forma prática comumente usada em exercícios:
p = K\bigl(a\ln R + b\bigr)^n,
onde p é a pressão média necessária para extrudir (em \mathrm{MPa}). Essa fórmula combina a dependência do esforço com a deformação \ln R e com parâmetros empíricos a,b (fornecidos no problema). (Obs.: existem outras formulações mais sofisticadas que adicionam termos de atrito ou de variação ao longo do fluxo, mas como o enunciado fornece a e b e pede uso da equação de Johnson, esta é a forma a ser empregada.)
  • Cálculo passo a passo:
    • Já obtivemos \ln R \approx 1{,}021651.
    • Avaliamos o argumento:
    a\ln R + b = 0{,}8\cdot 1{,}021651 + 1{,}5 \approx 0{,}817321 + 1{,}5 = 2{,}317321.
    • Aplicamos o expoente n=0{,}25:
    \bigl(a\ln R + b\bigr)^n = (2{,}317321)^{0{,}25} \approx 1{,}23353.
    • Multiplicamos por K=400\\ \mathrm{MPa} para obter a pressão média:
    p = 400\cdot 1{,}23353 \approx 493{,}41\\ \mathrm{MPa}.
  • Força de extrusão P: pressão média multiplicada pela área da seção do extrudado A_f. Lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2,
A_f = 225\pi\\ \mathrm{mm}^2 \approx 706{,}858\\ \mathrm{mm}^2,
P = p\cdot A_f \approx 493{,}41\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\times 706{,}858\\ \mathrm{mm}^2 \approx 348{,}740\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando para valores práticos, a força de extrusão é aproximadamente 3{,}49\times 10^5\\ \mathrm{N} (ou 349\\ \mathrm{kN}).
Comentário final: aqui usamos a forma simplificada da equação de Johnson fornecida indiretamente pelo enunciado (valores a,b). Em aplicações reais pode ser necessário incluir termos adicionais de atrito, coerência com geometria da matriz e variações de tensão ao longo do fluxo, mas para um exercício de prova esta é a aplicação direta e consistente com os dados dados.

Resposta

(a) \displaystyle R=\frac{A_0}{A_f}=\frac{25}{9}\approx 2{,}7778.
(b) \displaystyle \text{fator de forma}=\ln R\approx 1{,}021651.
(c) \displaystyle h_0=39{,}2\\ \mathrm{mm}.
(d) \displaystyle P\approx 3{,}49\times 10^{5}\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox. }349\\ \mathrm{kN}).

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