Um peixe mantém sua profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, certo peixe tem uma massa específica de 1,08 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Para que fração de seu volume expandido o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: com as bolsas de ar vazias, a massa específica média do peixe é \,1,08\\ \mathrm{g/cm^{3}}\,.
  • Objetivo: fazer a massa específica média do peixe ficar igual à da água, isto é \,1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}\,.
  • Pergunta: qual a fração do volume final expandido do peixe que deve ser ocupada pelas bolsas de ar infladas? (ou seja, qual a fração do volume total final que é ar)

Passo 2

Vamos introduzir variáveis e a ideia física básica (explicando devagarinho):
  • Seja \,m\, a massa do peixe (sem contar massa desprezível do ar adicionado).
  • Seja \,V_0\, o volume do peixe com as bolsas vazias. Como a massa específica inicial é \,1,08\\ \mathrm{g/cm^{3}}\,, temos a definição de massa específica (densidade média):
\rho_0=\frac{m}{V_0}.
Aqui \rho_0=1,08\\ \mathrm{g/cm^{3}}, m é a massa e V_0 o volume inicial.

Passo 3

Quando o peixe infla as bolsas de ar, vamos chamar o volume final de \,V_f\,. A massa do peixe praticamente não muda ao inflar (assumimos que a massa do ar acrescentado é desprezível), então a massa continua sendo \,m. Para que a massa específica média fique igual à da água \rho_{\text{água}}=1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}á vale:
\rho_{\text{água}}=\frac{m}{V_f}.á

Passo 4

Como m é o mesmo nos dois casos, igualamos as expressões para m:
m=\rho_0 V_0=\rho_{\text{água}} V_f.á
Desse modo podemos achar V_f em função de V_0:
V_f=\frac{\rho_0}{\rho_{\text{água}}}\,V_0.á

Passo 5

Substituindo os valores numéricos \rho_0=1{,}08 e \rho_{\text{água}}=1{,}00á:
V_f= \frac{1{,}08}{1{,}00}\,V_0 = 1{,}08\,V_0.
Ou seja, o volume final é 1{,}08 vezes o volume inicial; aumentou em 0{,}08\,V_0.

Passo 6

A fração do volume final que é ar (chamemos de f) é a razão entre o volume de ar acrescentado \,V_{\text{ar}}=V_f-V_0\, e o volume final \,V_f. Portanto:
f=\frac{V_{\text{ar}}}{V_f}=\frac{V_f-V_0}{V_f}=1-\frac{V_0}{V_f}.

Passo 7

Usando V_f=1{,}08\,V_0 dentro da fórmula de f:
f=1-\frac{V_0}{1{,}08\,V_0}=1-\frac{1}{1{,}08}=\frac{1{,}08-1}{1{,}08}=\frac{0{,}08}{1{,}08}.

Passo 8

Simplificando a fração:
\frac{0{,}08}{1{,}08}=\frac{8}{108}=\frac{2}{27}.
Em forma decimal:
\frac{2}{27}\approx0{,}07407\quad\text{ou}\quad7{,}41\%.

Passo 9

Interpretação rápida e encorajamento: isso significa que o peixe só precisa que cerca de 7{,}4\% do seu volume final seja ar para reduzir a densidade média de 1{,}08 para 1{,}00. É uma fração pequena — por isso muitos peixes conseguem ajustar a flutuabilidade com volumes de ar relativamente pequenos.

Resposta

\dfrac{2}{27}\approx0,07407 (ou 7{,}41\%)

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