Um peixe mantém sua profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, certo peixe tem uma massa específica de
. Para que fração de seu volume expandido o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: com as bolsas de ar vazias, a massa específica média do peixe é
. - Objetivo: fazer a massa específica média do peixe ficar igual à da água, isto é
. - Pergunta: qual a fração do volume final expandido do peixe que deve ser ocupada pelas bolsas de ar infladas? (ou seja, qual a fração do volume total final que é ar)
Passo 2
Vamos introduzir variáveis e a ideia física básica (explicando devagarinho):
- Seja
a massa do peixe (sem contar massa desprezível do ar adicionado). - Seja
o volume do peixe com as bolsas vazias. Como a massa específica inicial é , temos a definição de massa específica (densidade média):
Aqui
,
é a massa e
o volume inicial.
Passo 3
Quando o peixe infla as bolsas de ar, vamos chamar o volume final de
. A massa do peixe praticamente não muda ao inflar (assumimos que a massa do ar acrescentado é desprezível), então a massa continua sendo
. Para que a massa específica média fique igual à da água
vale:
Passo 4
Como
é o mesmo nos dois casos, igualamos as expressões para
:
Desse modo podemos achar
em função de
:
Passo 5
Substituindo os valores numéricos
e
:
Ou seja, o volume final é
vezes o volume inicial; aumentou em
.
Passo 6
A fração do volume final que é ar (chamemos de
) é a razão entre o volume de ar acrescentado
e o volume final
. Portanto:
Passo 7
Usando
dentro da fórmula de
:
Passo 8
Simplificando a fração:
Em forma decimal:
Passo 9
Interpretação rápida e encorajamento: isso significa que o peixe só precisa que cerca de
do seu volume final seja ar para reduzir a densidade média de
para
. É uma fração pequena — por isso muitos peixes conseguem ajustar a flutuabilidade com volumes de ar relativamente pequenos.