O pendente de reboque A B está submetido à força de 50 kN exercida por um rebocador. Determine a força em cada um dos cabos de amarração, B C e B D, se o navio está se movendo para a frente em velocidade constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Uma força de tração de 50\\ \text{kN} é exercida pelo rebocador no pendente AB.
  • Deve-se determinar as forças (tensões) nos cabos de amarração BC e BD, assumindo que o navio se move para a frente com velocidade constante.
Informações importantes que não foram fornecidas no enunciado:
  • As direções (ângulos) dos cabos BC e BD em relação a uma referência (por exemplo, em relação à direção para a frente do navio ou em relação ao eixo x). Ou então as posições/cartesianas dos pontos C e D em relação a B.
    Observação: sem conhecer essas direções/ângulos ou a geometria do problema, não é possível obter valores numéricos para as tensões em BC e BD. A resolução numérica requer pelo menos os ângulos ou coordenadas de C e D.

Passo 2

Princípio físico e ideia geral (o que usar na prova).
  • Movimento com velocidade constante implica equilíbrio de forças (resultante nula). Em linguagem simples: as forças se anulam, porque a aceleração é zero.
  • No ponto B atuam três forças: a força do pendente AB (que é dada, 50\\ \text{kN}) e as tensões em BC e BD (desconhecidas).
  • A condição de equilíbrio vetorial é
\vec{T}_{AB}+\vec{T}_{BC}+\vec{T}_{BD}=\vec{0}.
Isto significa que, se eu somar as componentes horizontais de todas as forças dá zero, e se eu somar as componentes verticais de todas dá zero. Essas duas equações escalares bastam para resolver duas incógnitas (as duas tensões) quando as direções são conhecidas.

Passo 3

Como montar o diagrama de corpo livre e escolher sistema de referencia (passo-a-passo prático que você faz na prova).
  • Desenhe o ponto B. Desenhe a força conhecida \vec{T}_{AB} correspondente a 50\\ \text{kN} na direção do pendente AB (normalmente apontando para a frente do navio).
  • Desenhe as linhas dos cabos BC e BD e marque os ângulos que cada uma faz com a direção positiva x (por exemplo, a direção para a frente do navio). Denote esses ângulos por \alpha para BC e \beta para BD. Explique cada letra:
    • \alpha: ângulo entre a linha BC e o eixo +x.
    • \beta: ângulo entre a linha BD e o eixo +x.
  • Introduza as incógnitas das magnitudes das tensões:
    • T_{BC}: magnitude da tensão no cabo BC.
    • T_{BD}: magnitude da tensão no cabo BD.
  • Escreva cada força em componentes (usando trigonometria básica):
    • A força do rebocador (pendente AB) tem magnitude dada: use \vec{T}_{AB}=50\\ \text{kN} na direção +x (se o rebocador puxa para frente). Em componentes:
    \vec{T}_{AB} = \bigl(50,\,0\bigr)\\ \text{kN}.
    • A tensão em BC:
    \vec{T}_{BC} = T_{BC}\bigl(\cos\alpha,\\ \sin\alpha\bigr).
    • A tensão em BD:
    \vec{T}_{BD} = T_{BD}\bigl(\cos\beta,\\ \sin\beta\bigr).

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio (componente a componente) e explicar cada termo.
  • Soma das componentes em x:
50 + T_{BC}\cos\alpha + T_{BD}\cos\beta = 0.
Explicação: 50 é a componente x da força do rebocador; as outras duas são as componentes x das tensões. O sinal depende da orientação escolhida; aqui tomei +x como a frente e \vec{T}_{AB}=50 nesse sentido.
  • Soma das componentes em y:
0 + T_{BC}\sin\alpha + T_{BD}\sin\beta = 0.
Explicação: a força do rebocador tem componente vertical zero; as componentes verticais das tensões devem somar zero para não haver resultante vertical.
Observação didática sobre sinais e ângulos: se uma das direções está “abaixo” do eixo x, o seu seno será negativo automaticamente (por isso é importante medir \alpha e \beta no mesmo sentido a partir do eixo +x). Mantendo essa consistência, as fórmulas acima são corretas sem acrescentar sinais manualmente.

Passo 5

Resolver o sistema de duas equações para T_{BC}\) e \(T_{BD}\) (álgebra passo a passo). - Sistema: \[\begin{cases} T_{BC}\cos\alpha + T_{BD}\cos\beta = -50,\\[4pt] T_{BC}\sin\alpha + T_{BD}\sin\beta = 0. \end{cases}
  • Use eliminação (ou regra de Cramer). Multiplique a primeira equação por \sin\beta\] e a segunda por \(\cos\beta e subtraia para eliminar T_{BD}:
T_{BC}\bigl(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta\bigr) = -50\sin\beta.
  • Reconheça a identidade trigonométrica \cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin(\beta-\alpha). Assim:
T_{BC}\sin(\beta-\alpha) = -50\sin\beta.
  • Portanto:
T_{BC} = -50\,\dfrac{\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)}.
  • Para T_{BD}, multiplique a primeira equação por \sin\alpha e a segunda por \cos\alpha e subtraia (para eliminar T_{BC}):
T_{BD}\bigl(\cos\beta\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha\bigr) = -50\sin\alpha.
  • De novo use a identidade para obter
T_{BD}\sin(\alpha-\beta) = -50\sin\alpha,
e então
T_{BD} = -50\,\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\alpha-\beta)}.
Comentários sobre as formas obtidas:
  • As duas formas acima são equivalentes (note que \sin(\beta-\alpha)=-\sin(\alpha-\beta)), e o sinal negativo aparece por causa da convenção de sinais das componentes que usamos. Na prática, ao calcular magnitudes de tensão, toma-se o valor absoluto dos resultados (pois tensões são magnitudes positivas) e interpreta-se o sinal como orientação (se negativo, a tensão age no sentido oposto ao assumido no diagrama).
  • Uma forma prática e simétrica que costuma ser usada (magnitudes positivas) é:
T_{BC} = \frac{50\,\bigl|\sin\beta\bigr|}{\bigl|\sin(\alpha-\beta)\bigr|},\qquad T_{BD} = \frac{50\,\bigl|\sin\alpha\bigr|}{\bigl|\sin(\alpha-\beta)\bigr|},
desde que \alpha e \beta sejam medidas coerentemente a partir do mesmo eixo.]

Passo 6

Como aplicar isso rapidamente na prova (receita passo-a-passo):
  1. No enunciado, identifique e anote os ângulos \alpha e \beta (ou as coordenadas de C e D para obter esses ângulos).
  2. Trace o diagrama em B e marque vetores com a convenção de sinais (por ex. +x para a frente).
  3. Escreva as equações de equilíbrio nas componentes x e y.
  4. Resolva o sistema (método de eliminação ou Cramer) e obtenha as fórmulas mostradas em Passo 5.
  5. Calcule numericamente as sines com uma calculadora (ou, se os ângulos forem 30°, 45°, 60° etc., use valores conhecidos) e substitua nas fórmulas para obter T_{BC} e T_{BD}.
  6. Verifique sinais: se algum resultado numérico vier negativo, interprete-o como indicação de que a orientação assumida no desenho está invertida; a magnitude da tensão é o valor absoluto.
Dica de ânimo: se, na prova, você não tiver a calculadora, tente identificar triângulos notáveis (30°, 45°, 60°) ou use relações geométricas do diagrama para obter senos simples; o procedimento algébrico é sempre o mesmo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões em BC e BD porque o enunciado não fornece as direções (ângulos) ou a geometria necessária dos cabos BC e BD.

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