Um pesquisador deseja comparar a eficácia de quatro medicamentos (M1, M2, M3 e M4) para a redução da pressão arterial. Os valores abaixo representam a redução observada (em mmHg) após o uso de cada medicamento:
\begin{aligned} & \text { M1: } 12,15,14,13,16,14,15,13 \\\ & \text { M2: } 10,9,11,12,10,11,9,10 \\\ & \text { M3: } 18,17,19,16,17,18,20,19 \\\ & \text { M4: } 13,14,12,11,13,12,14,13 \end{aligned}
Utilizando ANOVA de uma via, responda:
(a) Formule as hipóteses do teste.
(b) Construa a tabela ANOVA (SQTrat, SQRes, QM, F).
(c) Conclua, ao nível de 5 \%, se existe diferença significativa entre os medicamentos.

Passo 1

O enunciado dá as reduções de pressão (em mmHg) observadas para quatro medicamentos, cada um com 8 observações:
\begin{aligned} &\text{M1: }12,15,14,13,16,14,15,13\\\ &\text{M2: }10,9,11,12,10,11,9,10\\\ &\text{M3: }18,17,19,16,17,18,20,19\\\ &\text{M4: }13,14,12,11,13,12,14,13 \end{aligned}
As perguntas são:
(a) formular as hipóteses do teste ANOVA de uma via;
(b) construir a tabela ANOVA com \text{SQTrat}, \text{SQRes}, \text{QM} e F;
(c) concluir ao nível de 5\% se existe diferença significativa entre os medicamentos.

Passo 2

O que ANOVA testa (explicação didática e hipóteses):
  • Queremos saber se as médias das reduções de pressão dos quatro medicamentos são todas iguais ou se pelo menos uma difere.
  • Hipóteses formais:
H_0:\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4
H_1:\\ \text{pelo menos uma média difere}é
Onde \mu_i é a média populacional da redução de pressão para o medicamento i.
  • Ideia intuitiva: ANOVA compara a variação entre grupos (diferenças entre as médias dos tratamentos) com a variação dentro dos grupos (variabilidade natural dos indivíduos). Se a variação entre for muito maior que a dentro, rejeitamos H_0.

Passo 3

Fórmulas básicas da ANOVA (aula rápida):
  • Notação: k = número de grupos; n_i = tamanho do grupo i; N=\sum n_i.
  • Média do grupo i: \bar{x}_i. Média geral: \bar{x}.
  • Soma de quadrados dos tratamentos (entre):
\text{SQTrat}=\sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2.
  • Soma de quadrados residual (dentro):
\text{SQRes}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2.
  • Graus de liberdade: df_{\text{trat}}=k-1, df_{\text{res}}=N-k.
  • Quadrados médios (QM): \text{QMTrat}=\text{SQTrat}/df_{\text{trat}}, \text{QMRes}=\text{SQRes}/df_{\text{res}}.
  • Estatística F=\text{QMTrat}/\text{QMRes}. Compara-se com F_{(k-1,\,N-k,\;1-\alpha)}.

Passo 4

Calcular somas e médias de cada grupo (passo a passo):
  • Para M1: soma \sum x = 112 (eu somei 12+15+14+13+16+14+15+13), então
\bar{x}_1=\frac{112}{8}=14,0.
  • Para M2: soma \sum x = 82 (somei 10+9+11+12+10+11+9+10), então
\bar{x}_2=\frac{82}{8}=10,25.
  • Para M3: soma \sum x = 144 (somei 18+17+19+16+17+18+20+19), então
\bar{x}_3=\frac{144}{8}=18,0.
  • Para M4: soma \sum x = 102 (somei 13+14+12+11+13+12+14+13), então
\bar{x}_4=\frac{102}{8}=12,75.
  • Total geral: \sum_{\text{todos}} x =112+82+144+102=440, com N=32, logo
\bar{x}=\frac{440}{32}=13,75.

Passo 5

Calcular \text{SQTrat} (mostrar cada termo):
\text{SQTrat}=8\big[(\bar{x}_1-\bar{x})^2+(\bar{x}_2-\bar{x})^2+(\bar{x}_3-\bar{x})^2+(\bar{x}_4-\bar{x})^2\big].
Diferenças e quadrados:
\begin{aligned} \bar{x}_1-\bar{x}&=14,0-13,75=0,25\quad\Rightarrow\quad(0,25)^2=0,0625,\\\ \bar{x}_2-\bar{x}&=10,25-13,75=-3,50\quad\Rightarrow\quad(-3,50)^2=12,25,\\\ \bar{x}_3-\bar{x}&=18,0-13,75=4,25\quad\Rightarrow\quad(4,25)^2=18,0625,\\\ \bar{x}_4-\bar{x}&=12,75-13,75=-1,00\quad\Rightarrow\quad(-1,00)^2=1,00. \end{aligned}
Somando os quadrados: 0,0625+12,25+18,0625+1,00=31,375. Multiplicando por 8:
\text{SQTrat}=8\cdot 31,375=251,0.

Passo 6

Calcular \text{SQRes} (somas de quadrados dentro de cada grupo), mostrando os cálculos:
  • Para M1 ( \bar{x}_1=14,0), desvios ao quadrado:
(12-14)^2=4,\\ (15-14)^2=1,\\ (14-14)^2=0,\\ (13-14)^2=1,\\ (16-14)^2=4,\\ (14-14)^2=0,\\ (15-14)^2=1,\\ (13-14)^2=1.
Soma: 4+1+0+1+4+0+1+1=12. Então \text{SSW}_1=12.
  • Para M2 ( \bar{x}_2=10,25), desvios ao quadrado (mostrando alguns): (10-10,25)^2=0,0625,\\ (9-10,25)^2=1,5625,\\ \ldots Somando todos dá 7,5. Então \text{SSW}_2=7,5.
  • Para M3 ( \bar{x}_3=18,0), desvios ao quadrado: 0,1,1,4,1,0,4,1 somam 12. Então \text{SSW}_3=12.
  • Para M4 ( \bar{x}_4=12,75), desvios ao quadrado somam 7,5. Então \text{SSW}_4=7,5.
    Somando as somas dentro de cada grupo:
\text{SQRes}=\text{SSW}_1+\text{SSW}_2+\text{SSW}_3+\text{SSW}_4=12+7,5+12+7,5=39,0.

Passo 7

Verificação e soma total:
\text{SSTotal}=\text{SQTrat}+\text{SQRes}=251,0+39,0=290,0.
(Geralmente se verifica também pela fórmula alternativa \sum x_{ij}^2 - (\sum x_{ij})^2/N, mas a soma das duas partes confirma a partição da variância.)

Passo 8

Graus de liberdade e quadrados médios:
  • k=4, N=32 então df_{\text{trat}}=k-1=3 e df_{\text{res}}=N-k=28.
  • Quadrados médios:
\text{QMTrat}=\frac{\text{SQTrat}}{df_{\text{trat}}}=\frac{251,0}{3}=83,666\ldots\\ (\text{vou usar }83,6667),
\text{QMRes}=\frac{\text{SQRes}}{df_{\text{res}}}=\frac{39,0}{28}=1,392857\ldots\\ (\text{vou usar }1,3929).

Passo 9

Estatística F:
F=\frac{\text{QMTrat}}{\text{QMRes}}=\frac{251/3}{39/28}=\frac{251\cdot 28}{3\cdot 39}=\frac{7028}{117}\approx 60,068.

Passo 10

Decisão do teste (comparação com valor crítico):
  • Ao nível \alpha=0{,}05 para df_1=3 e df_2=28, o valor crítico F_{0{,}95}(3,28) é aproximadamente 2{,}95.
  • Como F_{\text{observado}}\approx 60{,}07 é muito maior que 2{,}95, rejeitamos H_0.
  • Conclusão: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que existe diferença significativa entre as médias de redução de pressão dos medicamentos (isto é, pelo menos um medicamento difere dos outros).

Resposta

(a) H_0:\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4\n H_1: pelo menos uma média difere\n(b) \text{SQTrat}=251{,}0,\\ \text{SQRes}=39{,}0;\\ \text{QMTrat}=83{,}6667,\\ \text{QMRes}=1{,}3929,\\ F=60{,}068\n(c) Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; existe diferença significativa entre os medicamentos.

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