Um pesquisador encontrou a seguinte equação para determinar como varia o nível de água de um tanque cilíndrico vertical quando o liquido vaza por um orifício na sua base
\frac{d y}{d t}=-k \sqrt{y}
em que y representa o nível de água, t o tempo e k é uma constante que depende das características do tanque e do orifício. Considerando um tanque com um nível de agua inicial de 3 m e um valor de k=0.06 m^{1 / 2} / \min, usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo h=0.5 \min o pesquisador obteve o valor y_{8}=2.599 m após
avançar oito passos no tempo.
(a) Encontre o valor de y_{10} correspondente ao décimo passo.
(b) Usando interpolação linear, ache o instante de tempo t em que o nível de água no tanque é de 2.57 m.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Achar y_{10} usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo h=0,5\\ \min, sabendo que o pesquisador já obteve y_{8}=2,599\\ \mathrm{m}.
  2. (b) Usando interpolação linear, achar o instante t em que o nível é 2,57\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dt} = -k\sqrt{y}.
  • Constante: k=0,06\\ \mathrm{m}^{1/2}/\min.
  • Passo do método de Heun: h=0,5\\ \min.
  • Nível inicial (no passo 0): y_{0}=3\\ \mathrm{m} (dado do enunciado).
  • Valor conhecido após oito passos: y_{8}=2,599\\ \mathrm{m}.
  • Precisamos avançar dois passos a partir de y_{8} para obter y_{10} (ou seja, calcular y_{9} e y_{10}).
  • Para a interpolação linear, usaremos os pares (t_{8},y_{8}) e (t_{9},y_{9}) (onde t_{n}=n\cdot h) para encontrar o instante em que y=2,57\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explicando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) de forma bem direta:
  • Suponha que temos um passo atual y_{n} no tempo t_{n}. A derivada é f(t,y)=\dfrac{dy}{dt}.
  • Primeiro fazemos um preditor (Euler explícito simples):
\tilde{y}_{n+1} = y_{n} + h\,f(t_{n},y_{n}).
  • Depois fazemos o corretor (média das inclinações no ponto antigo e na previsão):
y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}\bigl(f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr).
  • Aqui h é o tamanho do passo em minutos, t_{n+1}=t_{n}+h, e f é a função do lado direito da EDO.
  • No nosso caso f(t,y)=-k\sqrt{y}. Observe que f depende só de y, não de t explicitamente.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para os passos n=8\to9 e n=9\to10. Em cada avaliação de f teremos que calcular \sqrt{y} — eu mostro como aproximei essas raízes e os produtos.

Passo 3

Preparando a notação e os tempos:
  • Tempo do passo 8: t_{8}=8\cdot h=8\cdot 0,5=4\\ \min.
  • Tempo do passo 9: t_{9}=4,5\\ \min.
  • Tempo do passo 10: t_{10}=5\\ \min.
Definimos f(y)=-k\sqrt{y}=-0,06\sqrt{y}. Vou calcular f(y_{8}) primeiro usando y_{8}=2,599.
Calcular \sqrt{2,599}. Uma aproximação por Newton ou inspeção dá \sqrt{2,599}\approx 1,61231 (verificação rápida: 1,61231^{2}\approx 2,599).
Logo
f(y_{8}) = -0,06\cdot 1,61231 \approx -0,0967386.

Passo 4

Preditor para y_{9}:
\tilde{y}_{9} = y_{8} + h\,f(y_{8}) = 2,599 + 0,5\cdot(-0,0967386).
Calculando:
0,5\cdot(-0,0967386) = -0,0483693,
\tilde{y}_{9} = 2,599 - 0,0483693 = 2,5506307.

Passo 5

Avaliar f no preditor \tilde{y}_{9}:
  • Primeiro \sqrt{\tilde{y}_{9}}=\sqrt{2,5506307}. Aproximação: \sqrt{2,5506307}\approx 1,59707 (pois 1,59707^{2}\approx 2,5506307).
  • Então
f(\tilde{y}_{9}) = -0,06\cdot 1,59707 \approx -0,0958242.

Passo 6

Corretor para obter y_{9}:
y_{9} = y_{8} + \frac{h}{2}\bigl(f(y_{8}) + f(\tilde{y}_{9})\bigr).
Substituindo números:
y_{9} = 2,599 + 0,25\bigl(-0,0967386 -0,0958242\bigr).
Calcular a soma:
-0,0967386 -0,0958242 = -0,1925628.
Multiplicando por 0,25:
0,25\cdot(-0,1925628) = -0,0481407.
Portanto
y_{9} = 2,599 - 0,0481407 = 2,5508593.
Resultado: y_{9}\approx 2,5508593\\ \mathrm{m}.
(Dica prática: repare que o preditor deu 2,5506307 e o corretor ajustou para 2,5508593; as diferenças são pequenas — normal no Heun.)

Passo 7

Agora avançamos do passo 9 para o 10. Primeiro calculamos f(y_{9}).
  • Calcular \sqrt{y_{9}}=\sqrt{2,5508593}. Usando uma correção da raiz anterior, obtenho \sqrt{2,5508593}\approx 1,5971416.
  • Então
f(y_{9}) = -0,06\cdot 1,5971416 \approx -0,0958285.

Passo 8

Preditor para y_{10}:
\tilde{y}_{10} = y_{9} + h\,f(y_{9}) = 2,5508593 + 0,5\cdot(-0,0958285).
Calcular:
0,5\cdot(-0,0958285) = -0,0479143,
\tilde{y}_{10} = 2,5508593 - 0,0479143 = 2,5029450.

Passo 9

Avaliar f no preditor \tilde{y}_{10}:
  • \sqrt{\tilde{y}_{10}}=\sqrt{2,5029450}\approx 1,58207 (checagem: 1,58207^{2}\approx 2,502945).
  • Então
f(\tilde{y}_{10}) = -0,06\cdot 1,58207 \approx -0,0949242.

Passo 10

Corretor para obter y_{10}:
y_{10} = y_{9} + \frac{h}{2}\bigl(f(y_{9}) + f(\tilde{y}_{10})\bigr).
Substituindo:
y_{10} = 2,5508593 + 0,25\bigl(-0,0958285 -0,0949242\bigr).
Calcular a soma:
-0,0958285 -0,0949242 = -0,1907527.
Multiplicando por 0,25:
0,25\cdot(-0,1907527) = -0,047688175.
Logo
y_{10} = 2,5508593 - 0,047688175 = 2,503171125.
Arredondando razoavelmente: y_{10}\approx 2,50317\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Agora parte (b): interpolação linear para achar t quando y=2,57\\ \mathrm{m}.
  • Vamos interpolar entre t_{8}=4,0\\ \min com y_{8}=2,599 e t_{9}=4,5\\ \min com y_{9}=2,5508593 (valor que calculamos).
  • A interpolação linear assume y(t) aproximadamente linear entre esses dois pontos, então
t = t_{8} + h\cdot\frac{y_{\text{alvo}}-y_{8}}{y_{9}-y_{8}}.
Substituindo y_{\text{alvo}}=2,57:
t = 4,0 + 0,5\cdot\frac{2,57-2,599}{2,5508593-2,599}.
Calcular numeradores e denominadores:
2,57-2,599 = -0,029,
2,5508593-2,599 = -0,0481407.
A razão:
\frac{-0,029}{-0,0481407} \approx 0,6026.
Multiplicando por h=0,5:
0,5\cdot 0,6026 = 0,3013\\ \min.
Portanto
t \approx 4,0 + 0,3013 = 4,3013\\ \min.
Se preferir em minutos e segundos: 0,3013\\ \min \times 60 \approx 18,08\\ \mathrm{s}, logo t\approx 4\\ \mathrm{min}\\\ 18,08\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) y_{10}\approx 2,50317\\ \mathrm{m}
(b) t\approx 4,3013\\ \min

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