Um pesquisador encontrou a seguinte equação para determinar como varia o nível de água de um tanque cilíndrico vertical quando o liquido vaza por um orifício na sua base
em que
representa o nível de água,
o tempo e
é uma constante que depende das características do tanque e do orifício. Considerando um tanque com um nível de agua inicial de
e um valor de
, usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo
o pesquisador obteve o valor
após
avançar oito passos no tempo.
(a) Encontre o valor de
correspondente ao décimo passo.
(b) Usando interpolação linear, ache o instante de tempo
em que o nível de água no tanque é de
.
avançar oito passos no tempo.
(a) Encontre o valor de
(b) Usando interpolação linear, ache o instante de tempo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Achar
usando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) com passo , sabendo que o pesquisador já obteve . - (b) Usando interpolação linear, achar o instante
em que o nível é .
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Equação diferencial:
. - Constante:
. - Passo do método de Heun:
. - Nível inicial (no passo 0):
(dado do enunciado). - Valor conhecido após oito passos:
. - Precisamos avançar dois passos a partir de
para obter (ou seja, calcular e ). - Para a interpolação linear, usaremos os pares
e (onde ) para encontrar o instante em que .
Passo 2
Explicando o método de Heun (Euler aperfeiçoado) de forma bem direta:
- Suponha que temos um passo atual
no tempo . A derivada é . - Primeiro fazemos um preditor (Euler explícito simples):
- Depois fazemos o corretor (média das inclinações no ponto antigo e na previsão):
- Aqui
é o tamanho do passo em minutos, , e é a função do lado direito da EDO. - No nosso caso
. Observe que depende só de , não de explicitamente.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para os passos
e
. Em cada avaliação de
teremos que calcular
— eu mostro como aproximei essas raízes e os produtos.
Passo 3
Preparando a notação e os tempos:
- Tempo do passo
: . - Tempo do passo
: . - Tempo do passo
: .
Definimos
. Vou calcular
primeiro usando
.
Calcular
. Uma aproximação por Newton ou inspeção dá
(verificação rápida:
).
Logo
Logo
Passo 4
Preditor para
:
Calculando:
Passo 5
Avaliar
no preditor
:
- Primeiro
. Aproximação: (pois ). - Então
Passo 6
Corretor para obter
:
Substituindo números:
Calcular a soma:
Multiplicando por
:
Portanto
Resultado:
.
(Dica prática: repare que o preditor deu
e o corretor ajustou para
; as diferenças são pequenas — normal no Heun.)
Passo 7
Agora avançamos do passo
para o
. Primeiro calculamos
.
- Calcular
. Usando uma correção da raiz anterior, obtenho . - Então
Passo 8
Preditor para
:
Calcular:
Passo 9
Avaliar
no preditor
:
-
(checagem: ). - Então
Passo 10
Corretor para obter
:
Substituindo:
Calcular a soma:
Multiplicando por
:
Logo
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 11
Agora parte (b): interpolação linear para achar
quando
.
- Vamos interpolar entre
com e com (valor que calculamos). - A interpolação linear assume
aproximadamente linear entre esses dois pontos, então
Substituindo
:
Calcular numeradores e denominadores:
A razão:
Multiplicando por
:
Portanto
Se preferir em minutos e segundos:
, logo
.
Resposta
(a)
(b)
(b)