Um pesquisador registrou a concentração de uma determinada proteína ( \mathrm{em} \mu \mathrm{g} / \mathrm{mL} ) em amostras de tecidos biológicos:
2.3,2.5,2.8,3.0,2.6,2.7,3.1,2.2,3.3,2.9
(a) Calcule os quartis e a distância interquartílica (IQR - interquartile range).
(b) Com base nesses valores, comente o grau de dispersão dos dados.
(c) Em uma análise biológica sobre a variabilidade dessa característica nos indivíduos de uma mesma espécie, o que pode indicar uma amostra com baixo IQR?
(d) Pesquise e reporte os níveis médios e alguma medida de variabilidade (desviopadrão) da concentração de determinadas proteínas em humanos. Apresente pelo menos duas, sendo uma com uma concentração estável em indivíduos considerados saudáveis de modo geral e uma que possa variar bastante mesmo em indivíduos considerados saudáveis. De onde você retirou essa informação e o quanto você pode confiar nessa fonte?

Passo 1

O enunciado dá a série de concentrações (em \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}):
2{,}3,\;2{,}5,\;2{,}8,\;3{,}0,\;2{,}6,\;2{,}7,\;3{,}1,\;2{,}2,\;3{,}3,\;2{,}9
E pergunta:
(a) calcular os quartis e a distância interquartílica (IQR);
(b) comentar o grau de dispersão dos dados com base nesses valores;
(c) interpretar biologicamente o que pode indicar uma amostra com baixo IQR;
(d) pesquisar e reportar níveis médios e uma medida de variabilidade (desvio padrão) de concentrações de pelo menos duas proteínas em humanos — uma com concentração estável em indivíduos saudáveis e outra que varia bastante — e indicar a fonte e confiabilidade.
Dados relevantes extraídos do enunciado: a lista acima e a unidade \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
A resolução começa agora.

Passo 2

Ordenar os dados e lembrar o que são quartis (mini-aula curtinha): quartis dividem os dados ordenados em quatro partes com igual número de observações (ou quase). Para cálculo prático (método mais usado em estatística descritiva simples), com n par separa-se os dados na metade inferior e superior e toma-se a mediana de cada metade para obter Q_1 e Q_3; a mediana geral é Q_2.
Ordenando os valores em ordem crescente:
2{,}2,\;2{,}3,\;2{,}5,\;2{,}6,\;2{,}7,\;2{,}8,\;2{,}9,\;3{,}0,\;3{,}1,\;3{,}3
Aqui n=10 (par). A mediana Q_2 é a média dos 5.º e 6.º elementos (valores centrais).
Calculemos a mediana Q_2:
os 5.º e 6.º elementos são 2{,}7 e 2{,}8, logo
Q_2=\frac{2{,}7+2{,}8}{2}=2{,}75.
Para Q_1: olhamos a metade inferior (primeiros 5 valores)
2{,}2,\;2{,}3,\;2{,}5,\;2{,}6,\;2{,}7,
a mediana desse subconjunto (terceiro elemento) é 2{,}5. Logo Q_1=2{,}5.
Para Q_3: olhamos a metade superior (últimos 5 valores)
2{,}8,\;2{,}9,\;3{,}0,\;3{,}1,\;3{,}3,
a mediana desse subconjunto (terceiro elemento) é 3{,}0. Logo Q_3=3{,}0.
Resumo até aqui:
Q_1=2{,}5,\quad Q_2=2{,}75,\quad Q_3=3{,}0.

Passo 3

Definição e cálculo da IQR (mini-aula): a distância interquartílica é
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,
medida que descreve a amplitude da metade central dos dados (menos sensível a outliers que a amplitude total).
Aplicando:
\mathrm{IQR}=3{,}0-2{,}5=0{,}5\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.

Passo 4

Para complementar a visão da dispersão, vamos calcular média, variância amostral e desvio padrão amostral (mini-aula das fórmulas):
  • média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • variância amostral (estimador não viciado): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
  • desvio padrão amostral: s=\sqrt{s^2}.
    Usamos n-1 no denominador para corrigir viés em amostras finitas.
Somando os valores (mostrando a conta):
\sum x_i = 2{,}3+2{,}5+2{,}8+3{,}0+2{,}6+2{,}7+3{,}1+2{,}2+3{,}3+2{,}9 = 27{,}4.
Portanto
\bar{x}=\frac{27{,}4}{10}=2{,}74\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
Agora as diferenças ao quadrado (mostrando poucas delas e a soma):
Os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados são (arredondando a 4 casas para legibilidade):
\begin{array}{ll} 2{,}2-2{,}74=-0{,}54 & \Rightarrow 0{,}2916\\\\ 2{,}3-2{,}74=-0{,}44 & \Rightarrow 0{,}1936\\\\ 2{,}5-2{,}74=-0{,}24 & \Rightarrow 0{,}0576\\\\ 2{,}6-2{,}74=-0{,}14 & \Rightarrow 0{,}0196\\\\ 2{,}7-2{,}74=-0{,}04 & \Rightarrow 0{,}0016\\\\ 2{,}8-2{,}74=0{,}06 & \Rightarrow 0{,}0036\\\\ 2{,}9-2{,}74=0{,}16 & \Rightarrow 0{,}0256\\\\ 3{,}0-2{,}74=0{,}26 & \Rightarrow 0{,}0676\\\\ 3{,}1-2{,}74=0{,}36 & \Rightarrow 0{,}1296\\\\ 3{,}3-2{,}74=0{,}56 & \Rightarrow 0{,}3136 \end{array}
Somando esses quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 1{,}1040\\ (\text{aprox.})
Aplicando a fórmula da variância amostral:
s^2=\frac{1{,}104}{10-1}=\frac{1{,}104}{9}\approx 0{,}12267.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0{,}12267}\approx 0{,}35\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
Observações rápidas: se dividíssemos por n (variância populacional), o desvio seria \approx 0{,}332\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}. Mas para inferência em amostras usamos geralmente s com divisor n-1.

Passo 5

Interpretação do grau de dispersão (usando IQR, SD e amplitude):
  • IQR =0{,}5\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} significa que os 50\% centrais das observações caem num intervalo de largura 0{,}5. Em relação à média \bar{x}=2{,}74, isso é uma variação relativa de cerca de 0{,}5/2{,}74\approx 18{,}3\% — não é enorme.
  • Desvio padrão amostral s\approx 0{,}35\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} indica que uma “medida típica” de dispersão em torno da média é menor que a IQR, compatível com dados razoavelmente concentrados.
  • Amplitude total = 3{,}3-2{,}2=1{,}1\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}, que mostra que todos os valores estão dentro de uma faixa estreita (cerca de 40\% da média se olharmos relativo).
    Conclusão simples e direta: a amostra apresenta baixa a moderada dispersão — os valores estão relativamente concentrados em torno de 2{,}7\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}. Em termos práticos: não há grande heterogeneidade na amostra, os indivíduos medidos têm concentrações semelhantes dentro desta população amostrada.

Passo 6

Interpretação biológica de um baixo IQR (o que pode indicar):
  • Um baixo IQR sugere pouca variabilidade entre indivíduos na amostra para essa característica. Biologicamente isso pode indicar que a proteína é fortemente regulada (homeostase), desempenha papel essencial e mantém níveis estáveis entre indivíduos saudáveis, ou bem preservada por mecanismos fisiológicos.
  • Alternativamente, baixo IQR também pode resultar de amostragem limitada (poucos indivíduos, amostra homogênea por idade/sexo/condição) ou de procedimento de medição com baixa sensibilidade (mas normalmente erro de medição grande aumentaria variabilidade, não diminuiria).
  • Portanto, interpretação prudente: baixo IQR é compatible com baixa variabilidade biológica, mas é importante checar tamanho da amostra, representatividade e qualidade analítica antes de concluir que a característica é invariável na espécie.
    Dica de prova: sempre diga “pode indicar” e liste as alternativas (regulação biológica; amostra homogênea; limitações do método) — juiz da prova gosta de ver cautela.

Passo 7

Resposta à parte (d): dois exemplos de proteínas humanas, valores típicos e variabilidade, fonte e avaliação de confiança.
Exemplo 1 — proteína com concentração relativamente estável: albumina sérica.
  • Valores típicos de referência (uso clínico): \displaystyle 35\!-\!50\\ \mathrm{g/L}, que é o mesmo que \displaystyle 3{,}5\!-\!5{,}0\\ \mathrm{g/dL}. Em unidades \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}: isso corresponde a \displaystyle 35\,000\!-\!50\,000\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
  • Medida de variabilidade: os laboratórios reportam intervalos de referência (não necessariamente média±SD). Dados populacionais mostram variações modestas; um coeficiente de variação (CV) populacional típico pode ficar na casa de 5\% a 10\% dependendo da população e do método, ou seja desvio padrão aproximado de \sim 1{,}8\!-\!5{,}0\\ \mathrm{g/L} (valores dependentes do estudo).
  • Fonte e confiança: valores e intervalos de referência extraídos de fontes confiáveis de medicina laboratorial como Tietz Textbook of Clinical Chemistry, LabTestsOnline e guias de laboratórios clínicos. Confiança: alta para a faixa de referência — é um parâmetro bem estabelecido clinicamente. Observação: unidades e valores exatos podem variar ligeiramente entre laboratórios e populações.
Exemplo 2 — proteína que varia bastante em indivíduos saudáveis: proteína C-reativa (CRP).
  • Valores típicos em indivíduos saudáveis: frequentemente citam-se valores menores que \displaystyle 3\\ \mathrm{mg/L} como intervalo usual para saúde (categoria “baixo risco” em cardiologia); em unidades \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} isso é \displaystyle <3\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} (pois 1\\ \mathrm{mg/L}=1\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}). Em condições agudas de inflamação a CRP pode subir para \displaystyle 10\!-\!100\\ \mathrm{mg/L} ( \,10\!-\!100\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} ) ou mais.
  • Medida de variabilidade: a distribuição de CRP na população é geralmente assimétrica (skewed), com mediana em torno de 0{,}5\!-\!1{,}5\\ \mathrm{mg/L} em populações saudáveis e larga dispersão; o desvio padrão pode ser aproximadamente do mesmo tamanho da média ou maior (alto CV), dependendo da amostra populacional. Em outras palavras: CRP varia muito entre indivíduos e ao longo do tempo num mesmo indivíduo quando há inflamação.
  • Fonte e confiança: informações vindas de estudos populacionais como NHANES (CDC) e guias clínicos (p.ex. recomendações de laboratório e literatura médica) — confiabilidade média a alta para a afirmação qualitativa (CRP varia muito); para números exatos, confie em relatórios laboratoriais e estudos populacionais específicos, pois a média/SD dependem da amostra estudada.
Observações finais sobre as fontes: usei como base conhecimentos amplamente documentados em textos de bioquímica clínica e recursos de medicina laboratorial (LabTestsOnline, Tietz, CDC/NHANES). Essas fontes são geralmente confiáveis para intervalos de referência e características de variabilidade, mas valores numéricos exatos podem variar entre laboratórios, populações e métodos analíticos — sempre consulte o intervalo de referência do laboratório que fez a análise para interpretações clínicas precisas.

Resposta

(a) Q_1=2{,}5\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL},\\ Q_2=2{,}75\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL},\\ Q_3=3{,}0\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL};\\ \mathrm{IQR}=0{,}5\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
(b) A dispersão é baixa a moderada: amplitude total =1{,}1\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}, desvio padrão amostral s\approx0{,}35\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}; os 50\% centrais estão dentro de 0{,}5\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL} (≈18% da média), indicando valores relativamente concentrados em torno de 2{,}74\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.
(c) Uma amostra com baixo IQR pode indicar baixa variabilidade biológica (proteína fortemente regulada/housekeeping) ou amostra homogênea; entretanto, também é preciso checar tamanho amostral, representação da população e qualidade analítica antes de concluir que a característica é invariantemente estável.
(d) Exemplo estável: albumina sérica — faixa típica 35\!-\!50\\ \mathrm{g/L} (equivalente a 35\,000\!-\!50\,000\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}), CV populacional relativamente pequeno (ordem de 5\%\!-\!10\%); fonte: livros de química clínica e LabTestsOnline (confiança alta para a faixa de referência).
Exemplo variável: proteína C-reativa (CRP) — em indivíduos saudáveis tipicamente <3\\ \mathrm{mg/L} (ou <3\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}), mas pode aumentar para dezenas ou centenas de \mathrm{mg/L} em inflamação; distribuição populacional é assimétrica com alto CV (confiança média-alta dependendo do estudo; fontes: CDC/NHANES e guias clínicos).

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