1. Uma PG tem 6 termos, sendo 2 o último termo e \frac{1}{4} a razão. Qual é o primeiro termo dessa PG?

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica (PG) com as seguintes informações:
  • A PG tem 6 termos.
  • O último termo (isto é, o termo de índice 6) é 2.
  • A razão da PG é \dfrac{1}{4}.
O que o problema pede: determinar o primeiro termo da PG, denotado por a_1.

Passo 2

Fórmula principal que vamos usar (e por que ela vale): em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior pela razão r. Assim:
a_2 = a_1 r,\quad a_3 = a_2 r = a_1 r^2,\quad\text{e em geral}\quad a_n = a_1 r^{\,n-1}.
Aqui:
  • a_n é o enésimo termo da PG,
  • a_1 é o primeiro termo (o que queremos encontrar),
  • r é a razão da PG,
  • n é a posição do termo (um número natural).
Essa fórmula vem simplesmente de multiplicar por r repetidas vezes: para chegar ao n-ésimo termo faz-se n-1 multiplicações por r a partir de a_1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto com n=6, a_6=2 e r=\dfrac{1}{4}, obtemos:
a_6 = a_1 r^{5}.
Substituindo os valores conhecidos:
2 = a_1\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5}.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{1}{4}\right)^{5}. Primeiro 4^{5}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4=1024, portanto
\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5}=\dfrac{1}{1024}.
Substituindo na equação e isolando a_1:
2 = a_1\cdot\dfrac{1}{1024}\quad\Longrightarrow\quad a_1 = 2\cdot 1024 = 2048.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza e treinar o raciocínio): multiplicando por r=\dfrac{1}{4} sucessivas vezes a partir de a_1=2048,
a_1=2048,\quad a_2=2048\cdot\dfrac{1}{4}=512,\quad a_3=128,\quad a_4=32,\quad a_5=8,\quad a_6=2.
Chegamos em a_6=2 como dado, então o resultado está consistente.

Resposta

a_1 = 2048

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