Um piloto de jato mergulhando verticalmente para baixo a 600 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quer fazer uma curva de um quarto de círculo, experimentando uma aceleração máxima de 5 g .
(i) Qual é a altura mínima na qual a curva deve começar? Suponha que a trajetória seja circular, a velocidade constante e que, após o quarto de curva, o avião esteja se movendo horizontalmente ao nível do solo.
(ii) Que força o assento exerce sobre o piloto logo antes da parte horizontal?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Velocidade do jato: 600\\ \mathrm{km/h}.
  • Máxima aceleração sentida pelo piloto: 5\,g (isto é, o piloto não pode experimentar mais do que cinco vezes a aceleração da gravidade).
  • A trajetória da curva é um quarto de círculo de raio r, a velocidade é constante durante a curva e, depois do quarto de curva, o avião fica voando horizontalmente ao nível do solo.
  • Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
(i) Qual é a altura mínima onde a curva deve começar (ou seja, a altura inicial acima do solo para que, ao completar o quarto de círculo, o avião esteja no nível do solo)?
(ii) Que força o assento exerce sobre o piloto logo antes da parte horizontal? (a massa do piloto não é dada; portanto deixe a resposta em função da massa m do piloto, ou em múltiplos do peso mg).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a velocidade em unidades SI (m/s), porque a fórmula da aceleração centrípeta usa metros por segundo.
Converter 600\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
v = \frac{600}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 166{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Para cálculos exatos é conveniente usar v=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{m/s} ou o valor aproximado v\approx 166{,}67\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Relembrando a física necessária (aula rápida e prática):
  • Para um movimento circular uniforme de raio r e velocidade escalar v, a aceleração centrípeta tem módulo
a_{c}=\frac{v^{2}}{r},
direcionada para o centro da curva. Essa aceleração é a que muda a direção da velocidade: no caso do quarto de círculo do enunciado, no final da curva o centro do círculo está acima do avião, então a_{c} naquele instante aponta para cima.
  • As forças verticais atuando sobre o piloto são: o peso mg para baixo e a força normal do assento N para cima. Pela segunda lei de Newton:
N - m g = m a_{y},
onde a_{y} é a aceleração vertical do piloto (positiva para cima). No instante final da curva essa aceleração vertical é justamente a aceleração centrípeta a_{c} apontando para cima, logo
N - m g = m a_{c}\quad\Rightarrow\quad N = m(g + a_{c}).
  • O “g‑load” sentido pelo piloto, medido em múltiplos de g, é \dfrac{N}{m g}=1+\dfrac{a_{c}}{g}. O enunciado diz que a aceleração máxima sentida é 5\,g, isto é:
\frac{N}{m g}=5 \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{a_{c}}{g}=5.
Daí:
\frac{a_{c}}{g}=4 \quad\Rightarrow\quad a_{c}=4g.

Passo 4

Agora relacionar a_{c} com r para achar a altura mínima. Usando a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r} e a_{c}=4g:
\frac{v^{2}}{r}=4g \quad\Rightarrow\quad r=\frac{v^{2}}{4g}.
Substituindo v=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
Calcule v^{2}:
v^{2}=\left(\frac{500}{3}\right)^{2}=\frac{250000}{9}\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
Logo
r=\frac{250000/9}{4\cdot 9{,}8}=\frac{250000}{36\cdot 9{,}8}.
Façando as contas:
36\cdot 9{,}8=352{,}8, \qquad \frac{250000}{352{,}8}\approx 708{,}6\\ \mathrm{m}.
Portanto r\approx 708{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Geometria da curva e conclusão da altura:
  • Trata‑se de um quarto de círculo: o deslocamento vertical entre o ponto onde a curva começa e o ponto onde ela termina (nível do solo) é exatamente o raio r desse quarto de círculo. Intuitivamente, quando uma trajetória descreve um quarto de circunferência que leva a direção vertical para a horizontal, a queda vertical do início ao fim é r.
  • Assim a altura mínima onde a curva deve começar é h=r.
Logo a altura mínima é aproximadamente 708{,}6\\ \mathrm{m} (aproximando, podemos dizer 7,09\times10^{2}\\ \mathrm{m} ou 709\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Força do assento sobre o piloto logo antes da parte horizontal:
  • Já deduzimos que, naquele instante, a_{c}=4g.
  • Usando N=m(g+a_{c}):
N=m\bigl(g+4g\bigr)=5\,m g.
Isto significa que o assento empurra o piloto com uma força igual a cinco vezes o seu peso. Se quiser um número para um piloto de massa típica, por exemplo m=80\\ \mathrm{kg}:
N=5\cdot 80\cdot 9{,}8\approx 3920\\ \mathrm{N}.
Mas como a massa não foi fornecida, a resposta geral é N=5\,m g.

Resposta

h = \dfrac{v^{2}}{4g}\approx 7{,}09\times10^{2}\\ \mathrm{m}
N = 5\,m g

Exercícios relacionados