Em uma planta química, foi coletada uma amostra de 25 medições da temperatura do reator. A temperatura média foi estimada em 145^{\circ} \mathrm{C} com desvio padrão de 2,5^{\circ} \mathrm{C}. Determine o intervalo de confiança para a temperatura média com um coeficiente de confiança de 90 \%. Interprete. Resposta parcial: [144,1445; 145,8555]

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o intervalo de confiança para a temperatura média do reator com coeficiente de confiança de 90\%. As informações fornecidas são:
n=25,
\bar{x}=145^\circ\mathrm{C},
s=2,5^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vou explicar o que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar. Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média populacional \mu (quando o desvio padrão populacional é desconhecido) tem a forma
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual da média verdadeira);
  • s é o desvio padrão amostral (estimativa do desvio padrão populacional);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila entre amostras);
  • t_{\alpha/2,n-1} é o quantil crítico da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2.
Explicando em palavras simples: o intervalo acima dá uma faixa em que, com certo nível de confiança (aqui 90\%), acreditamos que esteja a verdadeira média do processo. O fator t ajusta a largura do intervalo quando não conhecemos o desvio padrão populacional.

Passo 3

Decisão sobre usar t ou z: como o desvio padrão populacional não foi informado e n=25 (menor que 30), devemos usar a distribuição de Student t com n-1=24 graus de liberdade. A distribuição t é mais larga que a normal padrão porque incorpora a incerteza extra de estimar o desvio padrão pela amostra; conforme n cresce, ela se aproxima da normal.

Passo 4

Calcular \alpha e obter o valor crítico t. Para nível de confiança 90\%, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O quantil crítico é
t_{0,05,24}\approx 1,7109,
valor obtido em tabela da distribuição t ou calculadora estatística (pode memorizar alguns valores ou consultar tabela rápida na prova).

Passo 5

Calcular o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,5}{\sqrt{25}}=\frac{2,5}{5}=0,5.
Explanação: \sqrt{n} mede quantas observações “reduzem” a variabilidade da média; quanto maior n, menor o erro padrão.

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando o t crítico pelo erro padrão:
\text{margem}=t_{0,05,24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 1,7109\cdot 0,5=0,85545\approx 0,8555.
Aqui eu arredondei a margem para quatro casas decimais (pode usar menos casas dependendo do critério da prova).

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=145-0,85545=144,14455\approx 144,1446,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=145+0,85545=145,85545\approx 145,8555.
Portanto o intervalo estimado é aproximadamente [144,1446;\;145,8555].

Passo 8

Interpretação prática e observações:
  • Interpretamos o resultado assim: tenho 90\% de confiança de que a verdadeira média da temperatura do reator está entre 144,1446^\circ\mathrm{C} e 145,8555^\circ\mathrm{C}. Em linguagem estatística correta: se repetíssemos o procedimento (amostrar 25 medições e construir o intervalo) muitas vezes, cerca de 90\% desses intervalos conteriam a verdadeira média.
  • Suposições: essa conclusão assume que a amostra é aleatória e que a distribuição da temperatura não é demasiado assimétrica ou tem muitos outliers; como n=25, é razoável usar t se a distribuição não for muito anômala.
  • Dica rápida para prova: calcule primeiro o erro padrão \frac{s}{\sqrt{n}}, depois multiplique pelo t crítico, e por fim some/subtraia de \bar{x}.

Resposta

[144,1446;\;145,8555]

Exercícios relacionados