Em uma planta química, foi coletada uma amostra de 25 medições da temperatura do reator. A temperatura média foi estimada em
com desvio padrão de
. Determine o intervalo de confiança para a temperatura média com um coeficiente de confiança de
. Interprete. Resposta parcial: [144,1445; 145,8555]
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o intervalo de confiança para a temperatura média do reator com coeficiente de confiança de
. As informações fornecidas são:
Passo 2
Vou explicar o que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar. Um intervalo de confiança de nível
para a média populacional
(quando o desvio padrão populacional é desconhecido) tem a forma
Aqui:
-
é a média amostral (estimativa pontual da média verdadeira); -
é o desvio padrão amostral (estimativa do desvio padrão populacional); -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila entre amostras); -
é o quantil crítico da distribuição de Student com graus de liberdade, correspondente à cauda de probabilidade .
Explicando em palavras simples: o intervalo acima dá uma faixa em que, com certo nível de confiança (aqui
), acreditamos que esteja a verdadeira média do processo. O fator
ajusta a largura do intervalo quando não conhecemos o desvio padrão populacional.
Passo 3
Decisão sobre usar
ou
: como o desvio padrão populacional não foi informado e
(menor que 30), devemos usar a distribuição de Student
com
graus de liberdade. A distribuição
é mais larga que a normal padrão porque incorpora a incerteza extra de estimar o desvio padrão pela amostra; conforme
cresce, ela se aproxima da normal.
Passo 4
Calcular
e obter o valor crítico
. Para nível de confiança
,
e
. O quantil crítico é
valor obtido em tabela da distribuição
ou calculadora estatística (pode memorizar alguns valores ou consultar tabela rápida na prova).
Passo 5
Calcular o erro padrão da média:
Explanação:
mede quantas observações “reduzem” a variabilidade da média; quanto maior
, menor o erro padrão.
Passo 6
Calcular a margem de erro multiplicando o
crítico pelo erro padrão:
Aqui eu arredondei a margem para quatro casas decimais (pode usar menos casas dependendo do critério da prova).
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
Portanto o intervalo estimado é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação prática e observações:
- Interpretamos o resultado assim: tenho
de confiança de que a verdadeira média da temperatura do reator está entre e . Em linguagem estatística correta: se repetíssemos o procedimento (amostrar 25 medições e construir o intervalo) muitas vezes, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média. - Suposições: essa conclusão assume que a amostra é aleatória e que a distribuição da temperatura não é demasiado assimétrica ou tem muitos outliers; como
, é razoável usar se a distribuição não for muito anômala. - Dica rápida para prova: calcule primeiro o erro padrão
, depois multiplique pelo crítico, e por fim some/subtraia de .