Em uma planta química, foram realizadas cinco medições da concentração de um produto químico em solução. Os valores obtidos nas medições foram: 10,4 ; 10,6 ; 10,5 ; 10,3 e 10,7 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Calcule o intervalo de confiança para a concentração média do produto com um coeficiente de confiança de 95 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=10,5000 ; s=0,1581 e [10,3037 ; 10,6963]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o intervalo de confiança para a concentração média do produto com coeficiente de confiança de 95\%.
Informações dadas (valores das cinco medições):
10,4,\;10,6,\;10,5,\;10,3,\;10,7
Também foi fornecida uma resposta parcial: \bar{x}=10,5000, s=0,1581 e intervalo [10,3037;10,6963]. Vou verificar e mostrar passo a passo como chegar nisso.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Substituindo os valores:
\bar{x}=\frac{10,4+10,6+10,5+10,3+10,7}{5}=\frac{52,5}{5}=10,5
Portanto \bar{x}=10,5000, que coincide com a resposta parcial.

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão amostral s (estimador não viesado).
Fórmula do desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
Calculando as diferenças e seus quadrados:
\begin{aligned} 10,4-\bar{x} &= -0,1 &\Rightarrow&\; (-0,1)^2=0,01\\\\ 10,6-\bar{x} &= 0,1 &\Rightarrow&\; (0,1)^2=0,01\\\\ 10,5-\bar{x} &= 0,0 &\Rightarrow&\; (0,0)^2=0,00\\\\ 10,3-\bar{x} &= -0,2 &\Rightarrow&\; (-0,2)^2=0,04\\\\ 10,7-\bar{x} &= 0,2 &\Rightarrow&\; (0,2)^2=0,04 \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=0,01+0,01+0+0,04+0,04=0,10
Agora:
s=\sqrt{\frac{0,10}{5-1}}=\sqrt{\frac{0,10}{4}}=\sqrt{0,025}=0,1581138\ldots
Arredondando, s\approx0,1581, que também coincide com a resposta parcial.

Passo 4

Escolha da distribuição crítica e do valor crítico.
Por que usar a distribuição t? Porque queremos o intervalo para a média quando a variância populacional é desconhecida (usamos s) e a amostra é pequena ( n=5). Nessas condições usa-se a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
Aqui n=5 então os graus de liberdade são n-1=4. Para nível de confiança 95\% precisamos do quantil t_{\,\alpha/2,\,\nu} com \alpha=0,05 e \nu=4. O valor tabelado é
t_{0,025,\,4}\approx 2,776.
A fórmula do intervalo de confiança é:
\bar{x}\pm t_{0,025,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde \bar{x} é a média amostral, t_{0,025,\,n-1} é o valor crítico e s/\sqrt{n} é o erro padrão da média.

Passo 5

Cálculo do erro padrão e da margem de erro.
Erro padrão da média:
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,1581138\ldots}{\sqrt{5}}=\frac{0,1581138\ldots}{2,2360679\ldots}=0,0707107\ldots
Margem de erro:
\mathrm{ME}=t_{0,025,4}\cdot\mathrm{SE}=2,776\times 0,0707107\ldots\approx 0,196287\ldots
Arredondando, \mathrm{ME}\approx 0,1963.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança numérico.
Limite inferior:
\bar{x}-\mathrm{ME}=10,5-0,196287\ldots\approx 10,3037
Limite superior:
\bar{x}+\mathrm{ME}=10,5+0,196287\ldots\approx 10,6963
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média é [10,3037\,;\,10,6963], que confirma a resposta parcial.

Passo 7

Interpretação (modo simples e amigável):
Significa que, com base nessa amostra de cinco medições, temos confiança de 95\% de que o verdadeiro valor da concentração média do produto está entre 10,3037 e 10,6963 g/L. Em linguagem menos técnica: se repetíssemos esse experimento muitas vezes e em cada repetição construíssemos um intervalo do mesmo tipo, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a média verdadeira. Isso não quer dizer que há 95\% de probabilidade da média verdadeira estar nesse intervalo para este único intervalo observado (a média verdadeira é fixa); a interpretação é sobre o procedimento repetido.
Comentário prático: a amostra é pequena, por isso o intervalo fica relativamente largo. Aumentar n reduziria o erro padrão e deixaria o intervalo mais preciso.

Resposta

[10,3037\;;\;10,6963]

Exercícios relacionados