Em uma planta química, foram realizadas cinco medições da concentração de um produto químico em solução. Os valores obtidos nas medições foram: 10,4 ; 10,6 ; 10,5 ; 10,3 e 10,7 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Calcule o intervalo de confiança para a concentração média do produto com um coeficiente de confiança de 95 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=10,5000 ; s=0,1581 e [10,3037 ; 10,6963]
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o intervalo de confiança para a concentração média do produto com coeficiente de confiança de 95\%.
Informações dadas (valores das cinco medições):
10,4,\;10,6,\;10,5,\;10,3,\;10,7
Também foi fornecida uma resposta parcial: \bar{x}=10,5000, s=0,1581 e intervalo [10,3037;10,6963]. Vou verificar e mostrar passo a passo como chegar nisso.
Arredondando, s\approx0,1581, que também coincide com a resposta parcial.
Passo 4
Escolha da distribuição crítica e do valor crítico.
Por que usar a distribuição t? Porque queremos o intervalo para a média quando a variância populacional é desconhecida (usamos s) e a amostra é pequena (n=5). Nessas condições usa-se a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
Aqui n=5 então os graus de liberdade são n-1=4. Para nível de confiança 95\% precisamos do quantil t_{\,\alpha/2,\,\nu} com \alpha=0,05 e \nu=4. O valor tabelado é
t_{0,025,\,4}\approx 2,776.
A fórmula do intervalo de confiança é:
\bar{x}\pm t_{0,025,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde \bar{x} é a média amostral, t_{0,025,\,n-1} é o valor crítico e s/\sqrt{n} é o erro padrão da média.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média é [10,3037\,;\,10,6963], que confirma a resposta parcial.
Passo 7
Interpretação (modo simples e amigável):
Significa que, com base nessa amostra de cinco medições, temos confiança de 95\% de que o verdadeiro valor da concentração média do produto está entre 10,3037 e 10,6963 g/L. Em linguagem menos técnica: se repetíssemos esse experimento muitas vezes e em cada repetição construíssemos um intervalo do mesmo tipo, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a média verdadeira. Isso não quer dizer que há 95\% de probabilidade da média verdadeira estar nesse intervalo para este único intervalo observado (a média verdadeira é fixa); a interpretação é sobre o procedimento repetido.
Comentário prático: a amostra é pequena, por isso o intervalo fica relativamente largo. Aumentar n reduziria o erro padrão e deixaria o intervalo mais preciso.