Pode um fio de cobre de
de diâmetro ter a mesma resistência de um fio de tungstênio de mesmo comprimento? Resposta: Sim.
Passo 1
O enunciado pergunta se um fio de cobre com diâmetro
pode ter a mesma resistência que um fio de tungstênio de mesmo comprimento. Dados explícitos que temos:
- Diâmetro do fio de cobre:
(peguei esse dado do enunciado). - Os fios têm o mesmo comprimento
(o valor de não é dado, mas a questão pede se é possível — portanto trabalharemos em termos de ).
A pergunta é essencialmente: existe alguma condição (por exemplo, escolha adequada do diâmetro do fio de tungstênio) que torne as resistências iguais? Vou mostrar passo a passo como verificar e calcular essa condição.
Passo 2
Conceito e fórmula básica (aula rápida e amigável).
A resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico é dada por:
A resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico é dada por:
onde:
-
é a resistividade do material (unidade: ), que é uma propriedade do material e mede quanto o material “resiste” à passagem de corrente; -
é o comprimento do fio (unidade: ); -
é a área da secção transversal do fio (unidade: ).
Para um fio cilíndrico a área da secção transversal em função do diâmetroé
Essas duas fórmulas são tudo que precisamos para relacionar resistência, resistividade e diâmetro.
Passo 3
Condição de mesmas resistências para fios do mesmo comprimento.
Se os dois fios (cobre e tungstênio) têm o mesmo comprimento e queremos
, então, usando
,
Se os dois fios (cobre e tungstênio) têm o mesmo comprimento
Cancelando
(já que são iguais) obtemos
Rearranjando para a área do tungstênio:
Como
, podemos relacionar diretamente os diâmetros:
o que simplifica para
Esta fórmula diz: para ter a mesma resistência (mesmo
), basta escolher o diâmetro do tungstênio igual ao diâmetro do cobre multiplicado pela raiz quadrada da razão das resistividades.
Passo 4
Valores típicos de resistividade e cálculo da razão.
Valores típicos (valores tabulados, tomados como referencia padrão à temperatura ambiente):
Valores típicos (valores tabulados, tomados como referencia padrão à temperatura ambiente):
Calcular a razão:
Passo 5
Cálculo do diâmetro necessário do fio de tungstênio.
Usando a fórmula do Passo 3:
Usando a fórmula do Passo 3:
Substituindo
e a razão calculada:
Portanto, se o fio de tungstênio tiver diâmetro aproximadamente
e o mesmo comprimento do fio de cobre (com
), as resistências serão essencialmente iguais (considerando os valores de resistividade usados e desprezando efeitos de temperatura).
Passo 6
Interpretação física e conclusão motivadora.
Isso significa que SIM — é perfeitamente possível que um fio de cobre de de diâmetro tenha a mesma resistência que um fio de tungstênio do mesmo comprimento, desde que o fio de tungstênio tenha um diâmetro maior (porque o tungstênio tem resistividade maior que a do cobre). A conta acima dá o diâmetro prático necessário (
). Legal, né? Não é mágica; é só resistividade e geometria trabalhando juntas.
Isso significa que SIM — é perfeitamente possível que um fio de cobre de
Resposta
Sim.