Pode um fio de cobre de 2,2 \mathrm{~mm} de diâmetro ter a mesma resistência de um fio de tungstênio de mesmo comprimento? Resposta: Sim.

Passo 1

O enunciado pergunta se um fio de cobre com diâmetro 2,2\\ \mathrm{mm} pode ter a mesma resistência que um fio de tungstênio de mesmo comprimento. Dados explícitos que temos:
  • Diâmetro do fio de cobre: d_{\mathrm{Cu}} = 2,2\\ \mathrm{mm} (peguei esse dado do enunciado).
  • Os fios têm o mesmo comprimento L (o valor de L não é dado, mas a questão pede se é possível — portanto trabalharemos em termos de L).
    A pergunta é essencialmente: existe alguma condição (por exemplo, escolha adequada do diâmetro do fio de tungstênio) que torne as resistências iguais? Vou mostrar passo a passo como verificar e calcular essa condição.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida e amigável).
A resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico é dada por:
R=\frac{\rho L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (unidade: \Omega\cdot\mathrm{m}), que é uma propriedade do material e mede quanto o material “resiste” à passagem de corrente;
  • L é o comprimento do fio (unidade: \mathrm{m});
  • A é a área da secção transversal do fio (unidade: \mathrm{m}^2).
    Para um fio cilíndrico a área da secção transversal em função do diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Essas duas fórmulas são tudo que precisamos para relacionar resistência, resistividade e diâmetro.

Passo 3

Condição de mesmas resistências para fios do mesmo comprimento.
Se os dois fios (cobre e tungstênio) têm o mesmo comprimento L e queremos R_{\mathrm{Cu}}=R_{\mathrm{W}}, então, usando R=\rho L/A,
\frac{\rho_{\mathrm{Cu}} L}{A_{\mathrm{Cu}}}=\frac{\rho_{\mathrm{W}} L}{A_{\mathrm{W}}}.
Cancelando L (já que são iguais) obtemos
\frac{\rho_{\mathrm{Cu}}}{A_{\mathrm{Cu}}}=\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{A_{\mathrm{W}}}.
Rearranjando para a área do tungstênio:
A_{\mathrm{W}}=A_{\mathrm{Cu}}\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}.
Como A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}, podemos relacionar diretamente os diâmetros:
\frac{\pi d_{\mathrm{W}}^{2}}{4}=\frac{\pi d_{\mathrm{Cu}}^{2}}{4}\cdot\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}},
o que simplifica para
d_{\mathrm{W}}=d_{\mathrm{Cu}}\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}}.
Esta fórmula diz: para ter a mesma resistência (mesmo L), basta escolher o diâmetro do tungstênio igual ao diâmetro do cobre multiplicado pela raiz quadrada da razão das resistividades.

Passo 4

Valores típicos de resistividade e cálculo da razão.
Valores típicos (valores tabulados, tomados como referencia padrão à temperatura ambiente):
\rho_{\mathrm{Cu}}\approx 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, \qquad \rho_{\mathrm{W}}\approx 5,60\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Calcular a razão:
\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}\approx\frac{5,60\times10^{-8}}{1,68\times10^{-8}}=\frac{5,60}{1,68}\approx 3,333\ldots

Passo 5

Cálculo do diâmetro necessário do fio de tungstênio.
Usando a fórmula do Passo 3:
d_{\mathrm{W}}=d_{\mathrm{Cu}}\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{W}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}}.
Substituindo d_{\mathrm{Cu}}=2,2\\ \mathrm{mm} e a razão calculada:
d_{\mathrm{W}}=2,2\\ \mathrm{mm}\times\sqrt{3,333\ldots}\approx 2,2\\ \mathrm{mm}\times 1,8257\approx 4,02\\ \mathrm{mm}.
Portanto, se o fio de tungstênio tiver diâmetro aproximadamente 4,02\\ \mathrm{mm} e o mesmo comprimento do fio de cobre (com d_{\mathrm{Cu}}=2,2\\ \mathrm{mm}), as resistências serão essencialmente iguais (considerando os valores de resistividade usados e desprezando efeitos de temperatura).

Passo 6

Interpretação física e conclusão motivadora.
Isso significa que SIM — é perfeitamente possível que um fio de cobre de 2,2\\ \mathrm{mm} de diâmetro tenha a mesma resistência que um fio de tungstênio do mesmo comprimento, desde que o fio de tungstênio tenha um diâmetro maior (porque o tungstênio tem resistividade maior que a do cobre). A conta acima dá o diâmetro prático necessário ( \approx4,02\\ \mathrm{mm}). Legal, né? Não é mágica; é só resistividade e geometria trabalhando juntas.

Resposta

Sim. d_{\mathrm{W}}\approx 4,02\\ \mathrm{mm}

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