Um policial com o ouvido muito bom e uma boa compreensão do efeito Doppler encontra-se em pé na beira de uma autoestrada, assistindo a um grupo de operários trabalhando em um trecho da rodovia de velocidade limitada a 40 m p h. Ele nota que um carro se aproxima buzinando. Quando ele chega mais perto, o policial escuta o som da buzina com uma nota distinta B4 (494 \mathrm{~Hz}). No instante exato que o carro passa por ele, escuta o som como uma nota distinta A4 (440 \mathrm{~Hz}). Imediatamente, ele desse da motocicleta, detém o carro e multa o motorista. Explique o raciocínio do policial.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão:
  • O policial ouve, enquanto o carro se aproxima, a nota B4 com frequência \,494\\ \mathrm{Hz}\,.
  • No instante exato em que o carro passa ao lado do policial, ele ouve a nota A4 com frequência \,440\\ \mathrm{Hz}\,.
  • O limite de velocidade na via é \,40\\ \mathrm{mph}\,.
    O que precisa ser explicado: por que o policial concluiu que o carro estava acima do limite (ou seja, calcular a velocidade do carro a partir das frequências e comparar com \,40\\ \mathrm{mph}\,).

Passo 2

Entendimento físico essencial (por que ouvir \,440\\ \mathrm{Hz}\,) no instante de passagem significa que (,440\ \mathrm{Hz},) é a frequência emitida pela buzina.
  • Quando uma fonte sonora se move em linha reta passando por um ouvinte estacionário, o componente radial da velocidade da fonte (a velocidade ao longo da linha que une fonte e ouvinte) muda de positivo para negativo; exatamente no instante em que a fonte está ao lado do ouvinte esse componente radial é zero.
  • O efeito Doppler depende da componente radial da velocidade: se essa componente é zero, não há deslocamento Doppler e o ouvinte escuta a frequência emitida pela fonte sem desvio.
  • Conclusão prática: a frequência emitida pela buzina (frequência de emissão, denominada \,f_0\,) é \,f_0 = 440\\ \mathrm{Hz}\,.)

Passo 3

Apresentação e explicação da fórmula do efeito Doppler (observador em repouso, fonte em movimento).
  • Para um observador estacionário e uma fonte sonora que se aproxima com velocidade escalar \,v_s\, (positiva quando se aproxima), e velocidade do som no ar \,v\,, a frequência observada quando a fonte se aproxima é
f_\text{aprox} = f_0\;\frac{v}{v - v_s}.
  • Aqui:
    • \,f_\text{aprox}\, é a frequência percebida pelo ouvinte enquanto a fonte se aproxima (dada no enunciado como \,494\\ \mathrm{Hz}\,),
    • \,f_0\, é a frequência emitida pela fonte (já determinado como \,440\\ \mathrm{Hz}\,),
    • \,v\, é a velocidade do som no ar (valor típico usado para cálculos práticos),
    • \,v_s\, é a velocidade do veículo (o que queremos achar).
  • Explicação da fórmula em palavras: a frequência percebida aumenta quando a fonte se aproxima porque as frentes de onda ficam mais comprimidas; o fator \dfrac{v}{v-v_s} quantifica essa compressão.

Passo 4

Isolar \,v_s\, a partir da fórmula do Passo 3.
  • Partimos de
f_\text{aprox} = f_0\;\frac{v}{v - v_s}.
  • Dividindo ambos os lados por f_0 e invertendo, obtemos
\frac{v - v_s}{v} = \frac{f_0}{f_\text{aprox}}.
  • Reorganizando para \,v_s\,:
v_s = v\left(1 - \frac{f_0}{f_\text{aprox}}\right).

Passo 5

Escolha do valor da velocidade do som e substituição numérica.
  • Usaremos o valor típico da velocidade do som no ar a temperatura ambiente: \,v = 343\\ \mathrm{m/s}\, (assunção padrão quando temperatura não é dada).
  • Substituindo \,f_0 = 440\\ \mathrm{Hz}\, e \,f_\text{aprox} = 494\\ \mathrm{Hz}\, na fórmula do passo anterior:
v_s = 343\left(1 - \frac{440}{494}\right).
  • Calcule a fração exatamente: \dfrac{440}{494} = \dfrac{220}{247}. Então
1 - \frac{440}{494} = \frac{27}{247}.
  • Portanto
v_s = 343\cdot\frac{27}{247} = \frac{9261}{247}\\ \mathrm{m/s}\approx 37,50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Converter a velocidade para milhas por hora (mph) e comparar com o limite.
  • Fator de conversão: 1\\ \mathrm{m/s} = 2{,}23694\\ \mathrm{mph}.
  • Convertendo:
v_s \approx 37{,}50\\ \mathrm{m/s}\times 2{,}23694\\ \frac{\mathrm{mph}}{\mathrm{m/s}} \approx 83{,}9\\ \mathrm{mph}.
  • Comparação com o limite: 83{,}9\\ \mathrm{mph} é bem maior que o limite de 40\\ \mathrm{mph}, portanto o carro estava em excesso de velocidade.

Passo 7

Resumo do raciocínio do policial (em linguagem prática, passo a passo rápido):
  • Ele percebeu que a frequência ouvida no instante de passagem ( 440\\ \mathrm{Hz}) deve ser a frequência real da buzina ( f_0), porque naquele instante o desvio Doppler é zero.
  • Usando a frequência mais alta ouvida enquanto o carro se aproximava ( 494\\ \mathrm{Hz}) e a fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento, calculou a velocidade do carro.
  • A velocidade calculada dá aproximadamente \,83{,}9\\ \mathrm{mph}\,, claramente acima do limite de \,40\\ \mathrm{mph}\,, justificando a autuação.

Resposta

Velocidade aproximada do carro: 83{,}9\\ \mathrm{mph}. Portanto o carro estava acima do limite de 40\\ \mathrm{mph} e a multa foi justificada.

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