Um policial com o ouvido muito bom e uma boa compreensão do efeito Doppler encontra-se em pé na beira de uma autoestrada, assistindo a um grupo de operários trabalhando em um trecho da rodovia de velocidade limitada a
. Ele nota que um carro se aproxima buzinando. Quando ele chega mais perto, o policial escuta o som da buzina com uma nota distinta B4
. No instante exato que o carro passa por ele, escuta o som como uma nota distinta A4
. Imediatamente, ele desse da motocicleta, detém o carro e multa o motorista. Explique o raciocínio do policial.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão:
- O policial ouve, enquanto o carro se aproxima, a nota B4 com frequência
. - No instante exato em que o carro passa ao lado do policial, ele ouve a nota A4 com frequência
. - O limite de velocidade na via é
.
O que precisa ser explicado: por que o policial concluiu que o carro estava acima do limite (ou seja, calcular a velocidade do carro a partir das frequências e comparar com).
Passo 2
Entendimento físico essencial (por que ouvir
no instante de passagem significa que (,440\ \mathrm{Hz},) é a frequência emitida pela buzina.
- Quando uma fonte sonora se move em linha reta passando por um ouvinte estacionário, o componente radial da velocidade da fonte (a velocidade ao longo da linha que une fonte e ouvinte) muda de positivo para negativo; exatamente no instante em que a fonte está ao lado do ouvinte esse componente radial é zero.
- O efeito Doppler depende da componente radial da velocidade: se essa componente é zero, não há deslocamento Doppler e o ouvinte escuta a frequência emitida pela fonte sem desvio.
- Conclusão prática: a frequência emitida pela buzina (frequência de emissão, denominada
) é .)
Passo 3
Apresentação e explicação da fórmula do efeito Doppler (observador em repouso, fonte em movimento).
- Para um observador estacionário e uma fonte sonora que se aproxima com velocidade escalar
(positiva quando se aproxima), e velocidade do som no ar , a frequência observada quando a fonte se aproxima é
- Aqui:
-
é a frequência percebida pelo ouvinte enquanto a fonte se aproxima (dada no enunciado como ), -
é a frequência emitida pela fonte (já determinado como ), -
é a velocidade do som no ar (valor típico usado para cálculos práticos), -
é a velocidade do veículo (o que queremos achar).
-
- Explicação da fórmula em palavras: a frequência percebida aumenta quando a fonte se aproxima porque as frentes de onda ficam mais comprimidas; o fator
quantifica essa compressão.
Passo 4
Isolar
a partir da fórmula do Passo 3.
- Partimos de
- Dividindo ambos os lados por
e invertendo, obtemos
- Reorganizando para
:
Passo 5
Escolha do valor da velocidade do som e substituição numérica.
- Usaremos o valor típico da velocidade do som no ar a temperatura ambiente:
(assunção padrão quando temperatura não é dada). - Substituindo
e na fórmula do passo anterior:
- Calcule a fração exatamente:
. Então
- Portanto
Passo 6
Converter a velocidade para milhas por hora (mph) e comparar com o limite.
- Fator de conversão:
. - Convertendo:
- Comparação com o limite:
é bem maior que o limite de , portanto o carro estava em excesso de velocidade.
Passo 7
Resumo do raciocínio do policial (em linguagem prática, passo a passo rápido):
- Ele percebeu que a frequência ouvida no instante de passagem (
) deve ser a frequência real da buzina ( ), porque naquele instante o desvio Doppler é zero. - Usando a frequência mais alta ouvida enquanto o carro se aproximava (
) e a fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento, calculou a velocidade do carro. - A velocidade calculada dá aproximadamente
, claramente acima do limite de , justificando a autuação.
Resposta
Velocidade aproximada do carro:
. Portanto o carro estava acima do limite de
e a multa foi justificada.