A poluição em lagos pode ser um problema sério, visto que são utilizados para recreação. A poluição resultante de esgoto e escoamento de quintais suburbanos carregados de fertilizantes e pesticidas (para evitar problemas com associações de moradores) pode representar um risco à segurança das pessoas. Geralmente, o interesse reside em saber quanto tempo levará para que a concentração de um determinado poluente diminua até um nível aceitável, se a concentração estiver acima dos níveis aceitáveis.
Um lago poluído apresenta uma concentração inicial de bactérias 10^{7} partes / \mathrm{m}^{3}, enquanto o nível aceitável é de apenas 5 \times 10^{6} partes / \mathrm{m}^{3}. A concentração de bactéria diminuirá à medida que água limpa entrar no lago. A equação diferencial que rege a concentração C do poluente em função do tempo (em semanas) é dada por: \frac{d C}{d t}+0,06 C=0 \quad C(0)=10^{7}
Para um passo de 3,5 semanas, determine determine a concentração do poluente após 7 semanas.
Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas\n
  • Queremos a concentração do poluente (bactérias) no tempo t=7 semanas.\n
  • A equação diferencial inicial é \dfrac{dC}{dt}+0,06\,C=0 com condição inicial C(0)=10^{7} (partes/ \mathrm{m}^{3}).\n
  • Reescrevendo em forma padrão: \dfrac{dC}{dt}=f(t,C)= -0,06\,C.\n
  • O enunciado pede explicitamente para usar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo h=3{,}5 semanas.\n
  • Para chegar em t=7 com passo h=3{,}5 precisamos de exatamente duas iterações (de t_{0}=0 a t_{1}=3{,}5, e de t_{1}=3{,}5 a t_{2}=7).\n

Passo 2

O que é o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) — fórmula e interpretação (aula rápida, sem pular etapas)\n
  • RK4 é um método explícito para aproximar a solução de \dfrac{dy}{dt}=f(t,y) com passo h. A cada passo calculamos quatro “pendentes” k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} e combinamos elas com pesos para obter a nova aproximação.\n
  • Fórmula geral do passo y_{n}\to y_{n+1}:\n k_{1}=f(t_{n},y_{n})\n k_{2}=f\!\bigl(t_{n}+\tfrac{h}{2},\,y_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1}\bigr)\n k_{3}=f\!\bigl(t_{n}+\tfrac{h}{2},\,y_{n}+\tfrac{h}{2}k_{2}\bigr)\n k_{4}=f\!\bigl(t_{n}+h,\,y_{n}+h\,k_{3}\bigr)\n y_{n+1}=y_{n}+\dfrac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr)\n
  • Interpretação rápida: k_{1} é a inclinação no início do intervalo; k_{2} e k_{3} são inclinações “no meio” usando correções; k_{4} é a inclinação no fim. A combinação com pesos 1,2,2,1 e fator \dfrac{h}{6} dá uma aproximação de ordem 4 em h (erro local \mathcal{O}(h^{5}), erro global \mathcal{O}(h^{4})).\n
  • No nosso caso f(t,C)=-0,06\,C não depende de t explicitamente e é linear em C, o que simplifica cálculos (cada k será proporcional a C).\n

Passo 3

Preparação numérica para a iteração: dados iniciais e constantes\n
  • Passo h=3{,}5.\n
  • Condição inicial C_{0}=C(0)=10^{7}.\n
  • Vamos aplicar RK4 duas vezes: primeiro para t_{0}=0\to t_{1}=3{,}5, depois para t_{1}=3{,}5\to t_{2}=7.\n

Passo 4

Primeira iteração ( t_{0}=0 para t_{1}=3{,}5) — cálculo passo a passo\n
  • f(t,C)=-0,06\,C.\n
  • Calcule k_{1}:\n k_{1}=f(t_{0},C_{0})=-0,06\cdot 10^{7}=-600{,}000\n
  • Calcule k_{2}: primeiro computamos C_{0}+\tfrac{h}{2}k_{1}. Como \tfrac{h}{2}=1{,}75:\n C_{0}+\tfrac{h}{2}k_{1}=10^{7}+1{,}75\cdot(-600{,}000)=10^{7}-1{,}050{,}000=8{,}950{,}000\n k_{2}=-0,06\cdot 8{,}950{,}000=-537{,}000\n
  • Calcule k_{3}: primeiro o ponto intermediário\n C_{0}+\tfrac{h}{2}k_{2}=10^{7}+1{,}75\cdot(-537{,}000)=10^{7}-939{,}750=9{,}060{,}250\n k_{3}=-0,06\cdot 9{,}060{,}250=-543{,}615\n
  • Calcule k_{4}: primeiro o ponto no final do passo\n C_{0}+h\,k_{3}=10^{7}+3{,}5\cdot(-543{,}615)=10^{7}-1{,}902{,}652{,}5=8{,}097{,}347{,}5\n k_{4}=-0,06\cdot 8{,}097{,}347{,}5=-485{,}840{,}85\n
  • Agora combine para obter C_{1}:\n C_{1}=C_{0}+\dfrac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr)\n
Substituindo os valores (e lembrando que \dfrac{h}{6}=\dfrac{3{,}5}{6}=\dfrac{7}{12}):\n k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}=-600{,}000-1{,}074{,}000-1{,}087{,}230-485{,}840{,}85=-3{,}247{,}070{,}85\n \dfrac{h}{6}\bigl(\cdot\bigr)=\dfrac{7}{12}\cdot(-3{,}247{,}070{,}85)=-1{,}894{,}124{,}666\overline{6}\n C_{1}=10^{7}-1{,}894{,}124{,}666\overline{6}=8{,}105{,}875{,}333\overline{3}\n
  • Resultado da primeira iteração (aproximação em t=3{,}5 semanas):\n C_{1}\approx 8{,}105{,}875{,}3333333\n

Passo 5

Segunda iteração ( t_{1}=3{,}5 para t_{2}=7) — aplicação de RK4 com C_{1}\n
  • Agora C_{1}=8{,}105{,}875{,}3333333. Repetimos o mesmo procedimento.\n
  • k_{1}=f(t_{1},C_{1})=-0,06\cdot 8{,}105{,}875{,}3333333=-486{,}352{,}52\n
  • C_{1}+\tfrac{h}{2}k_{1}=8{,}105{,}875{,}3333333+1{,}75\cdot(-486{,}352{,}52)=8{,}105{,}875{,}3333333-851{,}116{,}91=7{,}254{,}758{,}4233333\n k_{2}=-0,06\cdot 7{,}254{,}758{,}4233333=-435{,}285{,}50539999998\n
  • C_{1}+\tfrac{h}{2}k_{2}=8{,}105{,}875{,}3333333+1{,}75\cdot(-435{,}285{,}5054)=8{,}105{,}875{,}3333333-761{,}749{,}63445=7{,}344{,}125{,}6988833\n k_{3}=-0,06\cdot 7{,}344{,}125{,}6988833=-440{,}647{,}541933\n
  • C_{1}+h\,k_{3}=8{,}105{,}875{,}3333333+3{,}5\cdot(-440{,}647{,}541933)=8{,}105{,}875{,}3333333-1{,}542{,}266{,}3967655=6{,}563{,}608{,}9365678\n k_{4}=-0,06\cdot 6{,}563{,}608{,}9365678=-393{,}816{,}5361940707\n
  • Combine para obter C_{2}:\n k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}=-486{,}352{,}52-870{,}571{,}0108-881{,}295{,}083866-393{,}816{,}5361940707\approx -2{,}632{,}035{,}15086007\n \dfrac{h}{6}\cdot(\cdot)=\dfrac{3{,}5}{6}\cdot(-2{,}632{,}035{,}15086007)\approx -1{,}535{,}353{,}8380017076\n C_{2}=C_{1}-1{,}535{,}353{,}8380017076\approx 8{,}105{,}875{,}3333333-1{,}535{,}353{,}8380017076\n C_{2}\approx 6{,}570{,}521{,}495331625\n
  • Resultado final da segunda iteração (aproximação em t=7 semanas):\n C(7)\approx 6{,}570{,}521{,}495331625\\ \text{(partes}/\mathrm{m}^{3}\text{)}\n

Passo 6

Comentário final, verificação rápida e incentivo\n
  • Para conferir, a solução exata da EDO (por curiosidade) é C(t)=10^{7}e^{-0,06t}. Em t=7:\n C_{\text{exato}}(7)=10^{7}e^{-0,42}\approx 6{,}570{,}459{,}8\n
  • A aproximação por RK4 com h=3{,}5 deu C(7)\approx 6{,}570{,}521{,}5, muito próxima do exato (diferença ~ 61{,}7 partes/ \mathrm{m}^{3}, erro relativo muito pequeno). Isso mostra que RK4 com dois passos grandes já foi preciso o suficiente.\n
  • Você conseguiu! Mesmo com passo grande, RK4 é poderoso e aqui deu resultado confiável. Vai com calma na prova: anote ks com cuidado e siga a fórmula; faz toda a diferença.\n

Resposta

6{,}570{,}521{,}495331625

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