A poluição em lagos pode ser um problema sério, visto que são utilizados para recreação. A poluição resultante de esgoto e escoamento de quintais suburbanos carregados de fertilizantes e pesticidas (para evitar problemas com associações de moradores) pode representar um risco à segurança das pessoas. Geralmente, o interesse reside em saber quanto tempo levará para que a concentração de um determinado poluente diminua até um nível aceitável, se a concentração estiver acima dos níveis aceitáveis.
Um lago poluído apresenta uma concentração inicial de bactérias
partes
, enquanto o nível aceitável é de apenas
partes
. A concentração de bactéria diminuirá à medida que água limpa entrar no lago. A equação diferencial que rege a concentração
do poluente em função do tempo (em semanas) é dada por:
Para um passo de 3,5 semanas, determine determine a concentração do poluente após 7 semanas.
Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4
Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas\n
- Queremos a concentração do poluente (bactérias) no tempo
semanas.\n - A equação diferencial inicial é
com condição inicial (partes/ ).\n - Reescrevendo em forma padrão:
.\n - O enunciado pede explicitamente para usar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo
semanas.\n - Para chegar em
com passo precisamos de exatamente duas iterações (de a , e de a ).\n
Passo 2
O que é o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) — fórmula e interpretação (aula rápida, sem pular etapas)\n
- RK4 é um método explícito para aproximar a solução de
com passo . A cada passo calculamos quatro “pendentes” e combinamos elas com pesos para obter a nova aproximação.\n - Fórmula geral do passo
:\n \n \n \n \n \n - Interpretação rápida:
é a inclinação no início do intervalo; e são inclinações “no meio” usando correções; é a inclinação no fim. A combinação com pesos e fator dá uma aproximação de ordem 4 em (erro local , erro global ).\n - No nosso caso
não depende de explicitamente e é linear em , o que simplifica cálculos (cada será proporcional a ).\n
Passo 3
Preparação numérica para a iteração: dados iniciais e constantes\n
- Passo
.\n - Condição inicial
.\n - Vamos aplicar RK4 duas vezes: primeiro para
, depois para .\n
Passo 4
Primeira iteração (
para
) — cálculo passo a passo\n
-
.\n - Calcule
:\n \n - Calcule
: primeiro computamos . Como :\n \n \n - Calcule
: primeiro o ponto intermediário\n \n \n - Calcule
: primeiro o ponto no final do passo\n \n \n - Agora combine para obter
:\n \n
Substituindo os valores (e lembrando que
):\n
\n
\n
\n
- Resultado da primeira iteração (aproximação em
semanas):\n \n
Passo 5
Segunda iteração (
para
) — aplicação de RK4 com
\n
- Agora
. Repetimos o mesmo procedimento.\n -
\n -
\n \n -
\n \n -
\n \n - Combine para obter
:\n \n \n \n \n - Resultado final da segunda iteração (aproximação em
semanas):\n \n
Passo 6
Comentário final, verificação rápida e incentivo\n
- Para conferir, a solução exata da EDO (por curiosidade) é
. Em :\n \n - A aproximação por RK4 com
deu , muito próxima do exato (diferença ~ partes/ , erro relativo muito pequeno). Isso mostra que RK4 com dois passos grandes já foi preciso o suficiente.\n - Você conseguiu! Mesmo com passo grande, RK4 é poderoso e aqui deu resultado confiável. Vai com calma na prova: anote
s com cuidado e siga a fórmula; faz toda a diferença.\n