( 0,5 ponto) Quando a altura ( h ) e o alcance horizontal (R) são máximos? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas:
  • Quando a altura máxima h é atingida?
  • Quando o alcance horizontal R é máximo?
Pressuposições (aceitas porque não foram dadas no enunciado): o projétil é lançado do solo com velocidade inicial fixa v_0; o único acelerador é a gravidade g>0 (vertical para baixo); não há resistência do ar; o ângulo de lançamento é \theta (medido a partir da horizontal) e pode variar. Ou seja, v_0 e g são constantes conhecidas, \theta é a variável que podemos escolher.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão e muito útil: a velocidade inicial v_0 tem
v_{0x}=v_0\cos\theta, \qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Explicação curta: \cos\theta é a fração da velocidade que aponta na direção horizontal, \sin\theta é a fração que aponta para cima.

Passo 3

Agora obtemos a fórmula da altura máxima h. No instante do ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando a equação cinemática que liga velocidades e deslocamento na direção vertical:
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g h.
No topo v_y=0, portanto
0 = v_{0y}^2 - 2g h
e isolando h vem
h=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Aqui h é a altura máxima atingida acima do ponto de lançamento, v_{0y} é a componente vertical inicial e g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Maximizar h em relação a \theta. Na fórmula obtida v_0^2/(2g) é constante (positiva) então maximizar h é equivalente a maximizar \sin^2\theta. Sabemos que
0\le \sin^2\theta \le 1,
com igualdade máxima quando \sin\theta=\pm1. No intervalo relevante de lançamento (ângulos entre 0^\circ e 90^\circ) a máxima ocorre quando \sin\theta=1, ou seja
\theta = 90^\circ \quad\text{(ou }\theta=\tfrac{\pi}{2}\text{ rad)}.
Interpretação física: para obter a maior altura, coloque toda a velocidade na direção vertical (lançamento vertical puro). Observação: esse lançamento vertical dá alcance horizontal R=0.

Passo 5

Agora calculamos o alcance horizontal R. Primeiro o tempo total de voo T até o projétil voltar ao solo vem da equação do deslocamento vertical y(t):
0 = v_{0y}T - \tfrac{1}{2}gT^2,
que tem solução não nula
T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
O alcance horizontal é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo:
R = v_{0x}\,T = v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2}{g}(2\sin\theta\cos\theta).
Usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta) obtemos a forma clássica
R=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta).

Passo 6

Maximizar R em relação a \theta. A constante \dfrac{v_0^2}{g} é positiva, então maximizar R equivale a maximizar \sin(2\theta). Sabemos que \sin atinge o valor máximo 1 quando o argumento vale 90^\circ (ou \pi/2 rad). Então
2\theta = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta = 45^\circ \quad\text{(ou }\theta=\tfrac{\pi}{4}\text{ rad)}.
Outra forma de ver é derivar R(\theta): \dfrac{dR}{d\theta} \propto \cos(2\theta), zera quando \cos(2\theta)=0, o que dá 2\theta=90^\circ novamente.
Interpretação física: para maximizar o alcance com velocidade inicial fixa é preciso dividir a velocidade igualmente entre as componentes horizontal e vertical (porque \sin(2\theta) é máximo quando \theta=45^\circ).

Passo 7

Resumo do trade-off e observação final: o ângulo que maximiza a altura é \theta=90^\circ (todo o v_0 vertical), mas esse ângulo dá alcance zero. O ângulo que maximiza o alcance é \theta=45^\circ, que é um compromisso entre ter tempo de voo (componente vertical) e ter velocidade horizontal. Isso mostra que "máximo de h" e "máximo de R" não acontecem no mesmo ângulo.

Resposta

\displaystyle h máximo em \theta=90^\circ ( \theta=\tfrac{\pi}{2}).
\displaystyle R máximo em \theta=45^\circ ( \theta=\tfrac{\pi}{4}).

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