( 0,5 ponto) Quando a altura (
) e o alcance horizontal
são máximos? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas:
- Quando a altura máxima
é atingida? - Quando o alcance horizontal
é máximo?
Pressuposições (aceitas porque não foram dadas no enunciado): o projétil é lançado do solo com velocidade inicial fixa
; o único acelerador é a gravidade
(vertical para baixo); não há resistência do ar; o ângulo de lançamento é
(medido a partir da horizontal) e pode variar. Ou seja,
e
são constantes conhecidas,
é a variável que podemos escolher.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão e muito útil: a velocidade inicial
tem
Explicação curta:
é a fração da velocidade que aponta na direção horizontal,
é a fração que aponta para cima.
Passo 3
Agora obtemos a fórmula da altura máxima
. No instante do ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando a equação cinemática que liga velocidades e deslocamento na direção vertical:
No topo
, portanto
e isolando
vem
Aqui
é a altura máxima atingida acima do ponto de lançamento,
é a componente vertical inicial e
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Maximizar
em relação a
. Na fórmula obtida
é constante (positiva) então maximizar
é equivalente a maximizar
. Sabemos que
com igualdade máxima quando
. No intervalo relevante de lançamento (ângulos entre
e
) a máxima ocorre quando
, ou seja
Interpretação física: para obter a maior altura, coloque toda a velocidade na direção vertical (lançamento vertical puro). Observação: esse lançamento vertical dá alcance horizontal
.
Passo 5
Agora calculamos o alcance horizontal
. Primeiro o tempo total de voo
até o projétil voltar ao solo vem da equação do deslocamento vertical
:
que tem solução não nula
O alcance horizontal é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos a forma clássica
Passo 6
Maximizar
em relação a
. A constante
é positiva, então maximizar
equivale a maximizar
. Sabemos que
atinge o valor máximo
quando o argumento vale
(ou
rad). Então
Outra forma de ver é derivar
:
, zera quando
, o que dá
novamente.
Interpretação física: para maximizar o alcance com velocidade inicial fixa é preciso dividir a velocidade igualmente entre as componentes horizontal e vertical (porque
é máximo quando
).
Passo 7
Resumo do trade-off e observação final: o ângulo que maximiza a altura é
(todo o
vertical), mas esse ângulo dá alcance zero. O ângulo que maximiza o alcance é
, que é um compromisso entre ter tempo de voo (componente vertical) e ter velocidade horizontal. Isso mostra que "máximo de
" e "máximo de
" não acontecem no mesmo ângulo.