(1 ponto) Determine os valores de x para os quais a matriz abaixo não seja inversível:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\ x & 16 & x \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar os valores de x para os quais a matriz A não é inversível.
  • Nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\ x & 16 & x \end{pmatrix}

Passo 2

Conceito chave (aula rápida e necessária): uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Logo, para achar quando A não é inversível basta achar os x tais que
\det(A)=0.
Também vamos usar uma propriedade de operações elementares: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Isso é útil para simplificar a matriz antes de calcular o determinante.

Passo 3

Aplicamos a operação de linha que facilita os cálculos: substituir a terceira linha por \text{R}_3 - x\,\text{R}_1. Essa operação não altera o determinante. Calculando a nova terceira linha:
\text{R}_3 - x\,\text{R}_1 = \begin{pmatrix}x & 16 & x\end{pmatrix} - x\begin{pmatrix}1 & x & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 16 - x^2 & 0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz transformada (com mesmo determinante) é
\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\\ 0 & 16 - x^2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o determinante por expansão na primeira coluna (fácil porque há zeros):
\det(A)=1\cdot \det\begin{pmatrix} x & 1 \\\\ 16 - x^2 & 0 \end{pmatrix}.
Lembrando a fórmula do determinante de 2\times2: para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale ad-bc. Aplicando aqui:
\det(A)=1\cdot\big(x\cdot 0 - 1\cdot(16 - x^2)\big)=-(16 - x^2)=x^2-16.

Passo 5

Impondo \det(A)=0:
x^2-16=0.
Isso fatoriza como
(x-4)(x+4)=0,
logo as soluções são x=4 e x=-4.

Passo 6

Verificação interpretativa (ajuda a fixar a ideia): quando x=\pm4 a terceira linha fica proporcional à primeira, pois para x=4 tem-se \text{R}_3=4\,\text{R}_1 e para x=-4 tem-se \text{R}_3=-4\,\text{R}_1. Isso mostra dependência linear entre linhas e explica por que o determinante zera nesses valores.

Resposta

x=4
x=-4

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