(1 ponto) Determine os valores de x para os quais a matriz abaixo não seja inversível:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\ x & 16 & x \end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: determinar os valores de x para os quais a matriz A não é inversível.
Nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\ x & 16 & x \end{pmatrix}
Passo 2
Conceito chave (aula rápida e necessária): uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Logo, para achar quando A não é inversível basta achar os x tais que
\det(A)=0.
Também vamos usar uma propriedade de operações elementares: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Isso é útil para simplificar a matriz antes de calcular o determinante.
Passo 3
Aplicamos a operação de linha que facilita os cálculos: substituir a terceira linha por \text{R}_3 - x\,\text{R}_1. Essa operação não altera o determinante. Calculando a nova terceira linha:
Verificação interpretativa (ajuda a fixar a ideia): quando x=\pm4 a terceira linha fica proporcional à primeira, pois para x=4 tem-se \text{R}_3=4\,\text{R}_1 e para x=-4 tem-se \text{R}_3=-4\,\text{R}_1. Isso mostra dependência linear entre linhas e explica por que o determinante zera nesses valores.