( 0,5 ponto) No movimento de um projétil quais são as equações para:
a) a sua posição e velocidade em relação a
;
b) a sua posição e velocidade em relação a
;
c) a sua trajetória (deduza a equação); e
d) a altura
(deduza a equação); e
e) o alcance horizontal (
) (deduza a equação);
a) a sua posição e velocidade em relação a
b) a sua posição e velocidade em relação a
c) a sua trajetória (deduza a equação); e
d) a altura
e) o alcance horizontal (
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre o movimento de um projétil (lançado com velocidade inicial e sob gravidade). Vou listar exatamente o que é pedido e as informações/pressupostos que vou usar (tudo que eu preciso está aqui, não vou pedir nada):
- Perguntas do enunciado:
a) as equações da posição e da velocidade em relação a;
b) as equações da posição e da velocidade em relação a;
c) a equação da trajetória (ou seja,em função de , deduzida);
d) a(s) equação(ões) para o instante(s) em que a altura vale(ou seja, resolver );
e) o alcance horizontal(deduzir a fórmula do alcance). - Pressupostos padrão que vou usar (comuns em problemas de projéteis):
- O lançamento ocorre no instante
. - A posição inicial é a origem:
e . - A velocidade inicial tem módulo
e forma ângulo com a horizontal (para cima). - A aceleração é apenas a gravidade, vertical para baixo com módulo
(constante): . - Não há resistência do ar.
- O lançamento ocorre no instante
- Variáveis que vou usar e o que significam:
-
: velocidade inicial (módulo). -
: ângulo de lançamento medido a partir da horizontal (positivo para cima). -
: aceleração da gravidade (positiva; a componente vertical da aceleração é ). -
: tempo desde o lançamento. -
: posições horizontais e verticais em função do tempo. -
: componentes da velocidade em função do tempo.
-
Passo 2
Conceito básico e fórmula de movimento com aceleração constante (aula rápida):
- Para movimento com aceleração constante
, as equações vetoriais gerais (obtidas por integração) são
Explicando cada termo:
-
é a velocidade inicial (vetor). -
é a posição inicial (vetor). -
é a aceleração constante. - A equação de
vem de integrar no tempo.
Agora aplico essas fórmulas ao caso do projétil come .
Passo 3
Componentes da velocidade inicial e interpretação:
- A velocidade inicial decomposta em componentes horizontais e verticais é
Significado:
-
é a componente horizontal (constante se não há resistência do ar). -
é a componente vertical (varia no tempo por causa da gravidade).
Passo 4
Resposta da letra (a): posição e velocidade em
.
- Como a aceleração horizontal é zero, a velocidade horizontal é constante e igual a
. Assim
- A posição horizontal é obtida integrando a velocidade constante:
Comentário prático: na prova, para encontrar
em dado tempo basta multiplicar a componente horizontal da velocidade pelo tempo.
Passo 5
Resposta da letra (b): posição e velocidade em
.
- A componente vertical da aceleração é
, logo a velocidade vertical varia linearmente:
- A posição vertical vem da fórmula com
:
Explicação: o termo
é a contribuição do movimento inicial para cima; o termo
reduz a altura por causa da gravidade.
Passo 6
Resposta da letra (c): deduzir a equação da trajetória
.
- Objetivo: eliminar
entre e . - Da equação de
isolamos :
- Substituindo em
obtemos
- Simplificando (primeiro termo:
):
Interpretação: a curva é uma parábola em
; o coeficiente do
é
(reta inicial) e o termo quadrático (negativo) é responsável pela concavidade para baixo, devido à gravidade.
Passo 7
Resposta da letra (d): equação(s) para o instante(s) em que
(resolver
).
- Partimos da equação temporal vertical
- Para achar
tal que colocamos
- Reescrevendo em forma padrão de equação quadrática em
:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), as soluções são
- Observações físicas:
- Se o discriminante
for negativo, não existe tempo real em que a altura é atingida (altura maior que a máxima atingida). - Se o discriminante for zero, há um único instante (tamanho máximo atingido exatamente em único tempo — topo).
- Se positivo, há dois instantes: um na subida (com o sinal
na fórmula) e outro na descida (com o sinal se se ordenar adequadamente).
- Se o discriminante
- Se for útil também se obtém a(s) posição(ões) horizontal(is) correspondente(s) substituindo cada
em :
Passo 8
Resposta da letra (e): deduzir o alcance horizontal
.
- Definição prática: alcance
é o valor de quando o projétil retorna à altura inicial (alcança o solo), desprezando . - Igualando
com e usando , obtemos
- Fatorando
:
A solução
é o instante inicial; a outra é
- O alcance
é . Substituindo:
- Usando a identidade trigonométrica
, a forma mais compacta é
Comentário prático: para dado
o alcance é máximo quando
é máximo, ou seja quando
(ou
).
Passo 9
Resumindo pedagogicamente (dicas para a prova):
- Sempre comece escrevendo as componentes iniciais
e . - Use as fórmulas padrão de aceleração constante:
- Para a trajetória elimine
por . - Para encontrar tempos onde
resolva a quadrática em e interprete o discriminante. - Para o alcance, coloque
(além de ) e escolha a solução .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e as posições horizontais correspondentes:
)
(e)