(2,5 pontos) Apresente a equação da reta
que melhor se ajusta aos pontos
, ou seja, encontre os coeficientes
e
de forma a minimizar o erro quadrático cometido nesta aproximação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Apresentar a equação da reta
que melhor se ajusta aos pontos . - Encontrar os coeficientes
e que minimizam o erro quadrático dessa aproximação.
Informações dadas (os pontos fornecidos):
Passo 2
Definição do erro que vamos minimizar (resíduos e soma dos quadrados):
- Para um ponto
a reta prevê o valor . - O resíduo (erro) nesse ponto é
. - A soma dos quadrados dos resíduos (função objetivo) é
Queremos escolher
e
que minimizam
.
Passo 3
Por que minimizar a soma dos quadrados e como isso vira equações lineares:
- Minimizar
é um problema de cálculo: para um mínimo interior basta anular as derivadas parciais. - Calcule as derivadas parciais e iguale a zero:
Essas duas equações são as equações normais que levam a um sistema linear para
e
.
Passo 4
Escrever as equações normais em forma explícita (explicando cada soma):
- Denotando
,
Aqui:
-
é a soma das abscissas, -
é a soma das ordenadas, -
é a soma dos quadrados das abscissas, -
é a soma dos produtos abscissa·ordenada.
Passo 5
Calcular as somas usando os pontos dados (peguei os valores dos pontos do enunciado):
Passo 6
Substituir nas equações normais e obter o sistema linear:
- Usando os valores calculados, as equações ficam
Agora resolvemos esse sistema para
e
.
Passo 7
Resolver o sistema passo a passo:
- Da segunda equação isolamos
:
- Substituir em
:
- Calcule a parte do meio:
. Logo
- Com
, calcule :
Passo 8
Interpretação rápida e verificação (útil para prova):
- A reta ajustada é
, ou seja . - Podemos checar os resíduos
: - para
: , - para
: , - para
: , - para
: .
- para
- Propriedade útil:
(soma dos resíduos é zero para ajuste por mínimos quadrados com termo constante). - Soma dos quadrados dos resíduos (erro quadrático mínimo) é
. - Dica rápida para a prova: há fórmulas prontas
que permitem calcular
e
direto a partir das somas; aqui também dão
e
.