(2,5 pontos) Apresente a equação da reta y=a x+b que melhor se ajusta aos pontos (0,4),(1,1),(2,0),(3,1), ou seja, encontre os coeficientes a e b de forma a minimizar o erro quadrático cometido nesta aproximação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Apresentar a equação da reta y=a x+b que melhor se ajusta aos pontos (0,4),(1,1),(2,0),(3,1).
  • Encontrar os coeficientes a e b que minimizam o erro quadrático dessa aproximação.
Informações dadas (os pontos fornecidos):
  • (x_1,y_1)=(0,4)
  • (x_2,y_2)=(1,1)
  • (x_3,y_3)=(2,0)
  • (x_4,y_4)=(3,1)

Passo 2

Definição do erro que vamos minimizar (resíduos e soma dos quadrados):
  • Para um ponto (x_i,y_i) a reta y=ax+b prevê o valor ax_i+b.
  • O resíduo (erro) nesse ponto é r_i = y_i - (a x_i + b).
  • A soma dos quadrados dos resíduos (função objetivo) é
S(a,b)=\sum_{i=1}^{4} \bigl(y_i - a x_i - b\bigr)^2.
Queremos escolher a e b que minimizam S(a,b).

Passo 3

Por que minimizar a soma dos quadrados e como isso vira equações lineares:
  • Minimizar S(a,b) é um problema de cálculo: para um mínimo interior basta anular as derivadas parciais.
  • Calcule as derivadas parciais e iguale a zero:
\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{4} x_i\bigl(y_i - a x_i - b\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i - a x_i - b\bigr)=0.
Essas duas equações são as equações normais que levam a um sistema linear para a e b.

Passo 4

Escrever as equações normais em forma explícita (explicando cada soma):
  • Denotando n=4,
a\sum_{i=1}^{4} x_i^2 + b\sum_{i=1}^{4} x_i = \sum_{i=1}^{4} x_i y_i,
a\sum_{i=1}^{4} x_i + b\,n = \sum_{i=1}^{4} y_i.
Aqui:
  • \sum x_i é a soma das abscissas,
  • \sum y_i é a soma das ordenadas,
  • \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das abscissas,
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos abscissa·ordenada.

Passo 5

Calcular as somas usando os pontos dados (peguei os valores dos pontos do enunciado):
n=4,
\sum_{i=1}^{4} x_i = 0+1+2+3 = 6,
\sum_{i=1}^{4} y_i = 4+1+0+1 = 6,
\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = 0^2+1^2+2^2+3^2 = 0+1+4+9 = 14,
\sum_{i=1}^{4} x_i y_i = 0\cdot4 + 1\cdot1 + 2\cdot0 + 3\cdot1 = 0+1+0+3 = 4.

Passo 6

Substituir nas equações normais e obter o sistema linear:
  • Usando os valores calculados, as equações ficam
14a + 6b = 4,
6a + 4b = 6.
Agora resolvemos esse sistema para a e b.

Passo 7

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da segunda equação isolamos b:
6a + 4b = 6 \quad\Rightarrow\quad 4b = 6 - 6a \quad\Rightarrow\quad b = \frac{6 - 6a}{4} = \frac{3-3a}{2}.
  • Substituir em 14a + 6b = 4:
14a + 6\cdot\frac{3-3a}{2} = 4.
  • Calcule a parte do meio: 6\cdot\frac{3-3a}{2} = 3(3-3a)=9-9a. Logo
14a + 9 - 9a = 4 \quad\Rightarrow\quad 5a + 9 = 4 \quad\Rightarrow\quad 5a = -5 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
  • Com a=-1, calcule b:
b = \frac{3-3a}{2} = \frac{3-3(-1)}{2} = \frac{3+3}{2} = \frac{6}{2} = 3.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação (útil para prova):
  • A reta ajustada é y=-1\cdot x + 3, ou seja y=-x+3.
  • Podemos checar os resíduos r_i = y_i - (a x_i + b):
    • para x=0: r_1 = 4 - 3 = 1,
    • para x=1: r_2 = 1 - 2 = -1,
    • para x=2: r_3 = 0 - 1 = -1,
    • para x=3: r_4 = 1 - 0 = 1.
  • Propriedade útil: \sum r_i = 1-1-1+1 = 0 (soma dos resíduos é zero para ajuste por mínimos quadrados com termo constante).
  • Soma dos quadrados dos resíduos (erro quadrático mínimo) é 1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2 = 4.
  • Dica rápida para a prova: há fórmulas prontas
a = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n},
que permitem calcular a e b direto a partir das somas; aqui também dão a=-1 e b=3.

Resposta

a=-1
b=3

Exercícios relacionados