e pede para calcular, se existir, a inversa de A. Ou seja, encontrar uma matriz A^{-1} tal que
A\,A^{-1}=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3.
As informações relevantes são:
\text{Matriz }A\text{ dada (3×3).}
A pergunta é: existe A^{-1}? Se sim, qual é ela?]
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método de Gauss–Jordan (eliminação por linhas) aplicando operações elementares na matriz aumentada \bigl[A\mid I_3\bigr] para transformar a parte esquerda em I_3; a parte direita se tornará A^{-1}. Razão: é um procedimento mecânico, direto para matrizes 3\times3 e facilmente aplicável em prova sem fórmulas complicadas. Além disso esse método mostra também se a matriz é inversível (se conseguirmos reduzir a parte esquerda a I_3, a inversa existe).
Antes de aplicar, lembro o que são operações elementares (essas que posso usar sem alterar indevidamente a solução):
trocar duas linhas (operações do tipo I);
multiplicar uma linha por escalar não nulo (tipo II);
somar a múltipla de uma linha a outra linha (tipo III).
Operações do tipo III (somar múltiplas de uma linha a outra) não alteram o determinante; isso será útil para verificar invertibilidade.
Passo 3
Construo a matriz aumentada inicial \bigl[A\mid I_3\bigr]:
Vou aplicar operações de linha para transformar a parte esquerda em I_3. Vou também aproveitar etapas para comentar a cada operação o que está acontecendo.]
Passo 4
Primeira etapa: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô). Faço:
Observação útil: as operações R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1 são do tipo III (somar múltipla de uma linha a outra) e não alteram o determinante. Assim, o determinante de A é igual ao determinante da parte esquerda desta nova matriz.]
Passo 5
Agora a parte esquerda da matriz aumentada é já quase triangular. Podemos calcular o determinante a partir dessa forma triangular: a matriz da parte esquerda é
que é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1.
Como \det(A)\neq 0, concluímos que A é invertível e a inversa existe. (Isso confirma que continuar a eliminação dará I_3 na parte esquerda.)]
Passo 6
Continuo o processo de Gauss–Jordan para obter I_3 na parte esquerda. Já temos pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,3). Agora devemos zerar os elementos acima dos pivôs para transformar a parte esquerda em I_3.
Primeiro, elimino o elemento na posição (1,2), que é 3. Uso a segunda linha (pivô em coluna 2), fazendo:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2.
Calculemos os lados esquerdo e direito separadamente.
Verificação rápida (útil em prova para dar segurança): podemos multiplicar A por A^{-1} e checar que dá I_3. Por exemplo, a primeira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}7\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}. Multiplicando A por essa coluna:
que é a primeira coluna de I_3. Procedendo analogamente para as outras colunas obtém-se as colunas correspondentes de I_3. Isso confirma que a matriz encontrada é de fato a inversa.]